Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

e sia X := �
i≥0 Xi.
Posto Xi := {xi0, xi1, xi2, . . . , xin, . . . }, gli elementi di X possono essere disposti
in una tabella infinita:
X0 x00 x01 x02 x03 x04 . . . x0n . . .
X1 x10 x11 x12 x13 x14 . . . x1n . . .
X2 x20 x21 x22 x23 x24 . . . x2n . . .
X3 x30 x31 x32 x33 x34 . . . x3n . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Xi xi0 xi1 xi2 xi3 xi4 . . . xin . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e quindi possono essere contati in diagonale:
X = {x00, x10, x01, x20, x11, x02, x30, x21, . . . }
Precisamente, per ogni fissato i ≥ 0, sia
Di = {xi−k,k; k = 0, . . . , i} = {xi0, xi−1,1, xi−2,2, . . . , x0,i}
la i-esima diagonale. Notiamo che |Di| = i + 1. Poiché ogni elemento xij ∈ X
appartiene ad una ed una sola diagonale, precisamente quella di indice k =
i + j, allora a xij possiamo far corrispondere il numero intero
dij = |D0|+|D1|+|D2|+. . . +|Di+j−1|+(j+1) = 1+2+3+. . . +(i+j)+(j+1).
In questo modo si definisce una corrispondenza biunivoca che ad ogni xij
associa dij. ✷
12.4.5 Relazione numerabile-continuo
Come già anticipato all’inizio di questo capitolo, nel Novembre del 1873,
Cantor scrisse una lettera a Dedekind in cui gli poneva il quesito riguardante
la relazione tra la potenza del continuo e quella del numerabile. Cantor, come
visto in precedenza, dagli studi fatti per la costruzione dei numeri reali e dei
vari domini A,B,C,. . . e dallo studio degli insiemi che ammettevano derivato
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