Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

linea e della superficie; la sua critica tende in sostanza a stabilire che gli
enti geometrici non possono definirsi che per astrazione, con un processo
indefinito di idealizzazione, come limiti del sensibile. Ora questa affermazione
costituisce il primo riconoscimento del carattere infinitesimale
dei concetti fondamentali della geometria, e quindi può riguardarsi come
il primo acquisto dell’analisi infinitesimale.”
4.2.7 Influsso sulla matematica del tempo
Sembra che le argomentazioni di Zenone abbiano avuto un profondo influsso
sulla matematica greca, influsso paragonabile a quello della scoperta delle
grandezze incommensurabili, alla quale è possibile che si ricollegassero. Originariamente
negli ambienti pitagorici le grandezze venivano rappresentate con
sassolini o calcoli, ma al tempo di Euclide si era già verificato un completo cambiamento
del punto di vista: le grandezze non erano più generalmente associate
a numeri o sassolini, ma a segmenti. Negli Elementi persino gli stessi numeri
interi vengono rappresentati con segmenti. Il regno dei numeri continuava
dunque ad avere la proprietà della discontinuità, ma il mondo delle grandezze
continue (e ciò comprendeva gran parte della matematica pre-ellenica e pitagorica)
costituiva qualcosa di completamente separato dal numero e doveva
venire trattato con metodo geometrico. Sembra che fosse la geometria, piuttosto
che il numero, a governare il mondo. Non è improbabile che questo grande
cambiamento fosse dovuto in larga misura proprio a Zenone.
Oltre agli argomenti trattati è stato importante il metodo utilizzato da
Zenone. Egli ha fortemente utilizzato il procedimento di riduzione all’assurdo,
che verrà poi sfruttato dai geometri successivi. Per dimostrare una proposizione
A, si assume come ipotesi che valga la sua negazione, ossia che la
proposizione non-A sia vera e si trae una serie di conclusioni fino a quando
si giunge ad una contraddizione. L’ipotesi che non-A sia vera risulta dunque
essere falsa e da ciò si conclude che A deve essere vera.
Interessante notare come molti argomenti di Zenone furono riscoperti, quasi
simultaneamente, dal filosofo cinese del IV secolo a.C. Hui Shi e riportati
nell’ultimo capitolo del classico taoista Chuang Tzu, che li critica come parole
che non raggiungono il bersaglio, un voler correre più veloci della propria ombra.
Uno di questi è praticamente identico al paradosso della dicotomia: “Se
ogni giorno si dimezza un bastone lungo un piede, ne rimarrà sempre qualcosa
anche dopo diecimila generazioni.”
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