Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

A me sembra di poter rispondere affermativamente a questa questione
per le seguenti ragioni.
Tutti i numeri ≥ 0 e ≤ 1 possono essere rappresentati in una ed
una sola maniera come frazione decimale
1 1
1
x = α1 + α2 + . . . + αν
10 102 10ν dove le αν sono numeri interi ≥ 0 e ≤ 9. Tutti i numeri x
determinano così una successione infinita α1, α2, . . . e viceversa.”
La corrispondenza biunivoca fu dimostrata nel seguente modo: dati due reali
x1, x2 così espressi
x1 = α1
1 1
1
+ α2 + . . . + αν
10 102 10ν 1 1
1
x2 = β1 + β2 + . . . + βν
10 102 10ν da questi si può ottenere un terzo numero nel modo seguente:
1 1
y = α1 + β1
10 10
2 + α2
1
10
3 + β2
1
+ . . .
103 il numero y.
In questo modo Cantor credette di aver trovato una corrispondenza biunivoca
associando alla coppia (x1, x2) e y.
Quanto sia sorprendente questo risultato è testimoniato dalle parole ormai celebri
che Cantor scrisse a Dedekind: “je le vois, ma je ne le crois pas!” (“lo
vedo ma non ci credo!”),una volta dimostrato l’ultimo enunciato.
Dedekind però trovò un errore in tale dimostrazione e lo comunicò a Cantor
in una lettera datata 22 Giugno 1877.
Per poter rappresentare in modo univoco ogni numero reale appartenente all’intervallo
(0, 1), si devono identificare i valori tali che αn = 0 da un certo
indice in poi con il corrispondente valore per cui αn = 9 (per esempio 0.3000 . . .
e 0.29999 . . . ). Dedekind infatti scrive:
“. . . il fatto che voi sottolineate il termine “ infinito” mi lascia
supporre che voi escludiate il caso di una funzione finita, vale a
dire che al posto di
x = α1
10
+ α2
10
αν 0 0
+ . . . + + + + . . .
2 10ν 10ν+1 10ν+2 429