Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

corpo a quattro dimensioni in cui veniva meno la proprietà associativa del
prodotto.
11.3.3 Hamilton
Prima di soffermarci sui contributi algebrici del matematico irlandese sir
William Rowan Hamilton (1805-1865) ricordiamo che lavorò anche su altri
campi di ricerca. Particolarmente interessante è il concetto di temporal step
ossia di “intervallo di tempo”, descritto nel lungo articolo del 1835 intitolato
Theory of coniugate functions, or algebra couples; with a preliminary and
elementary essay on algebra as the science of pure time. I concetti di tempo
“puro”, del prima e del dopo e della simultaneità e l’idea di una progressione
continua e indefinita dal passato attraverso il presente verso il futuro erano
per Hamilton frutto del “pensiero, o intuizione o forma della mente umana”,
in cui si potevano scorgere i principi dell’algebra.
Egli conferì alla nozione di tempo la caratterizzazione di ente algebrico, a cui
assegnare regole come, ad esempio, una relazione d’ordine: data una coppia
di momenti (A, B) possiamo dire A < B, o A > B o A = B a seconda che il
momento A preceda, segua o concida con il momento B.
Egli introdusse poi una relazione di analogia fra le coppie di momenti che
corrispondeva all’intuizione di uguali intervalli di tempo. In questo modo il
concetto di numero intero era definito da Hamilton mediante una relazione su
coppie analoghe di temporal steps, che traduceva l’idea intuitiva di successione
di uguali intervalli di tempo a partire da un momento iniziale arbitrariamente
scelto.
Gli interi erano poi da Hamilton detti positivi o contrapositivi (negativi) a
seconda che gli intervalli di tempo fossero presi in una direzione o nell’altra
dell’ordinamento temporale secondo l’intuizione naturale. Con argomenti incompleti
ma moderni Hamilton costruiva poi, a partire dagli interi, il campo
dei numeri “frazionari” e con assai più difficoltà costruiva i numeri reali e introduceva
delle operazioni su di essi.
Quello di Hailton fu il primo serio passo verso l’aritmetizzazione dell’analisi
e la costruzione assiomatica dei numeri reali.
Dalla metà del Cinquecento era nota, per merito di Bombelli, l’unità immaginaria
i, ossia quel numero tale che i 2 = −1. Nel 1835 Hamilton concepì per
la prima volta l’idea di estendere la costruzione di C a partire da R, esibendo
i numeri complessi come coppie ordinate di reali e definendo un opportuno
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