Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

formule, ricavate una dall’altra tramite le regole di derivazione a partire
dagli assiomi, che termina in una stringa che è esattamente il teorema
che è stato dimostrato.
Dunque se, data una certa espressione φ, esiste una sequenza finita di
formule, legate dalle regole di derivazione, che termina nell’espressione
data, allora si dice che tale espressione è dimostrabile all’interno di PA
e si indica ⊢P A φ.
• Assiomi. Inseriamo innanzitutto degli assiomi logici:
(φ ∨ φ) → φ; φ → (φ ∨ ψ); (φ ∨ ψ) → (ψ ∨ φ); (φ → ψ) → ((ϕ ∨ φ) →
(ϕ ∨ ψ)).
Questi sono gli assiomi relativi alla disgiunzione, ai quali andranno aggiunti
quelli della congiunzione e gli altri connettivi logici.
A questi aggiungiamo gli assiomi di Peano, più alcuni assiomi che definiscono
la somma e la moltiplicazione:
∀x (s(x) �= 0)
∀x, y (s(x) = s(y) → x = y)
∀x (x + 0 = x)
∀x, y (x + s(y) = s(x + y))
∀x (x × 0 = 0)
∀x, y (x × s(y) = (x × y) + x)
(φ(0)&∀x (φ(x) → φ(s(x)))) → ∀x (φ(x)). 2
2 L’induzione
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