Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

oppositori. Muore nel 1918. A lui si deve la teoria dei numeri razionali, la
teoria dei numeri cardinali transfiniti (fondata sulla trattazione matematica
dell’infinito attuale), ma soprattutto a lui si deve la fondazione della teoria
degli insiemi.
13.4.2 Reali come classi di equivalenza di successioni di Cauchy
Come anticipa il titolo, Cantor studia le successioni di Cauchy e i campi
completi secondo Cauchy, ossia i campi in cui queste successioni di Cauchy
convergono. Non essendo il campo dei Razionali completo secondo Cauchy,
Cantor trova un completamento per questo campo, che sarà il campo dei Reali,
in modo che diventi completo secondo Cauchy e lo definisce partendo dalle
successioni di Cauchy a valori razionali. Introduce delle operazioni, una relazione
di equivalenza e una relazione d’ordine, in modo che il campo quoziente
delle successioni di Cauchy su Q modulo la relazione di equivalenza introdotta
sia un campo ordinato e completo secondo Cauchy.
Gli irrazionali di Eudosso
Prima di vedere i dettagli, facciamo alcune osservazioni e vediamo alcuni
risultati che ci permetteranno di arrivare a capire l’idea intuitiva da cui è
partito Cantor per tale costruzione.
Partiamo dalla definizione di Eudosso di irrazionali, non molto diversa da
quella di Dedekind.
Definizione 84. Dati A, B, C, D,
A
B
= C
D
⇐⇒ qualsiasi siano gli interi m ed n , mA ⋚ nB ⇒ mC ⋚ nD .
La differenza principale con la definizione di Dedekind sta nel fatto che in
questo caso è necessario presupporre di avere già i numeri; aggiungendo però
il postulato dell’esistenza, segue subito che A n C n
⋚ ⇐⇒ ⋚ , quindi
B m D m
la classe dei numeri razionali n
m
viene separata in due categorie. Possiamo
pertanto dire che due rapporti saranno uguali quando determinano la stessa
sezione di Dedekind.
La definizione di Eudosso dà un metodo per trovare il rapporto tra due
segmenti; proviamo ad applicarlo per due segmenti dati AB < CD, che supponiamo
commensurabili. Si deve trovare un segmento che stia un numero intero
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