Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

Si noti che dalla bilinearità e dalle regole 3) il prodotto risulta essere associativo.
L’applicazione da H in R 4 che ad un quaternione q = a + bi + cj + dk associa
le sue coordinate (a, b, c, d) è un isomorfismo di spazi vettoriali. Pertanto possiamo
scrivere q = a + bi + cj + dk = (a, v) dove a ∈ R è detta componente
scalare, mentre v = (b, c, d) ∈ R 3 è detta componente vettoriale. Con questa
notazione si ha:
q1 + q2 = (a1, v1) + (a2, v2) = (a1 + a2, v1 + v2)
q1 ∗ q2 = (a1a2 − v1 · v2, a1v2 + a2v1 + v1 × v2)
¯q = (a, −v)
||q|| 2 = a 2 + ||v|| 2
dove con · e × denotiamo l’usuale prodotto scalare e vettoriale rispettivamente
così definiti: dati v1 = b1i + c1j + d1k e v2 = b2i + c2j + d2k
v1 · v2 = b1b2 + c1c2 + d1d2;
⎛
⎞
⎜
v1 × v2 = ⎝
c1d2 − c2d1
⎟
d1b2 − b1d2⎠
b1c2 − b2c1
Questo aspetto ci fa osservare il legame tra il prodotto tra quaternioni e i
prodotti vettoriale e scalare tra vettori. La descrizione vettoriale e alcune
altre proprietà dei quaternioni permettono di dimostrare che ogni rotazione
dello spazio tridimensionale può essere considerata come un prodotto di tre
particolari quaternioni. In questo modo la ricerca di Hamilton di rappresentare
lo spazio così come i complessi facevano per il piano veniva risolta. Infatti ogni
quaternione q di norma unitaria può essere scritto in modo unico nella forma
q = (cos ϑ, sin ϑu) con angolo ϑ ∈ [0, π] e u ∈ S 2 , dove S 2 è la sfera unitaria,
cioè u ∈ R 3 e ||u|| = 1.
Si può mostrare quindi che ogni quaternione q di norma unitaria rappresenta
un elemento di SO(3), gruppo speciale delle rotazioni di R 3 , e cioè si ha che i
quaternioni descrivono attraverso il prodotto di al più tre elementi le rotazioni
dello spazio. Era proprio questo l’obiettivo di Hamilton.
Poco tempo dopo Frobenius (1849-1917) dimostrò il seguente teorema:
365