Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

isolversi con la riga e il compasso è che ciascuna delle equazioni da cui il
problema dipende sia algebrica razionale intera con coefficienti appartenenti
al campo di razionalità formato coi dati, e che inoltre ciascuna delle equazioni
sia di grado minore o uguale a due, o risolubile mediante risoluzione di una
successione di equazioni di secondo grado”
Pertanto un un punto è costruibile se se le sue coordinate si possono ottenere
effettuando sulle coordinate dei dati operazioni razionali e successive estrazioni
di radici quadrate.
In breve possiamo dire:
“I problemi risolubili con la riga e il compasso sono i problemi di primo e
secondo grado e quei problemi di grado superiore la cui risoluzione si può far
dipendere dalla risoluzione di una successione di problemi di grado minore o
uguale a due.”
Possiamo concludere dicendo che un problema è risolubile elementarmente
quando sono state discusse le seguenti due questioni:
• Decidere se il problema è algebrico, cioè se dipende da un’equazione
algebrica a coefficieti razionali;
• decidere se una data equazione algebrica sia risolubile con operazioni
razionali ed estrazioni di radicali quadratici, in un dato campo di
razionalità a cui appartengono i coefficienti dell’equazione.
7.1.3 Applicazioni alla geometria elementare
Discutiamo ora, come applicazione della teoria appena esposta, un problema
della geometria elementare che riguarda la possibilità o meno della
costruzione dei poligoni regolari.
Il problema della costruzione del poligono di n-lati si riconduce al problema
della divisione del cerchio in n parti uguali, dove si può supporre che siano
dati il centro O del cerchio e un punto di divisione A. È lecito assumere la
distanza dei due punti dati, cioè il raggio del cerchio, come unità. Sotto questa
forma il problema, i cui dati sono punti, è ricondotto alla ricerca di n-1 punti
(di divisione) che, insieme ad A costituiscono i vertici di un n-gono regolare.
Ciascuno di questi punti individua con A un arco, che moltiplicato per n
dà un multiplo intero del cerchio: 2πr
n (si può prendere r ≤ n). Riferiamoci a
due assi coordinati ortogonali, prendendo O come origine ed OA che individua
l’asse x. Il punto A abbia coordinate (1,0); i punti incogniti avranno coordinate
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