Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

Teorema 105. A seconda che il quadrilatero birettangolo isoscele ABCD
verifichi l’ipotesi dell’angolo retto, ottuso o acuto, si ha rispettivamente che
AB = CD, AB > CD e AB < CD.
da cui seguì che:
Teorema 106. A seconda che il quadrilatero birettangolo isoscele ABCD verifichi
l’ipotesi dell’angolo retto, ottuso o acuto, si ha rispettivamente che la
somma degli angoli interni di un triangolo è (rispettivamente) uguale, maggiore
o minore di due angoli retti.
Dimostrazione. (La dimostrazione è quella di Saccheri)
Sia ABC un triangolo rettangolo in B. Si completi il quadrilatero tracciando
AD uguale a BC e perpendicolare ad AB, indi congiungendo D con C.
Nell’ipotesi dell’angolo retto i due triangoli ABC, ACD sono uguali, per cui
BAC ˆ = ˆ DCA. Segue immediatamente che nel triangolo ABC: Â+ ˆ B + Ĉ = 2
angoli retti.
Nell’ipotesi dell’angolo ottuso, essendo AB > DC, sarà: ACB ˆ > ˆ DAC
(questa disuguaglianza venne dimostrata a parte da Saccheri), per cui avremo:
 + ˆ B + Ĉ > 2 angoli retti.
Nell’ipotesi dell’angolo acuto, essendo AB < DC, sarà: ACB ˆ < ˆ DAC
(anche questa disuguaglianza venne dimostrata a parte da Saccheri), per cui
avremo: Â + ˆ B + Ĉ < 2 angoli retti.
Saccheri continuò quindi nella deduzione di altri teoremi e proposizioni,
riuscendo a concludere che l’ipotesi dell’angolo ottuso è falsa, sfruttando, in
particolare, il seguente:
Teorema 107 (Prop. XI, XII). Nell’ipotesi dell’angolo retto e nell’ipotesi
dell’angolo ottuso, una perpendicolare ed una obliqua ad una stessa retta si
incontrano.
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