Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

12.6 Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten
Negli anni che vanno dal 1879 al 1884 si ha una prima presentazione organica
della teoria dei numeri cardinali e ordinali transfiniti nella pubblicazione:
‘ Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten’ (Sulle molteplicità di punti
lineari ed infinite) divisa in 6 articoli. Di seguito vengono riportati alcuni di
questi articoli che approfondiscono i concetti di insiemi derivati e potenza.
12.6.1 Articolo2
Mi sia concesso innanzitutto, per facilitare con qualche abbreviazione l’esposizione
che seguirà, di introdurre alcuni formalismi.
Esprimiamo l’identità di due insiemi di punti P e Q mediante la formula P ≡
Q. Se due insiemi P e Q non hanno elementi comuni diciamo che sono senza
connessione. Se un insieme P è formato dall’unione di più insiemi P1, P2, P3, ...,
in numero finito o infinito, che siano a due a due senza connessione, scriviamo
P = {P1, P2, P3, ...}.
Se tutti i punti di un insieme P appartengono pure a un altro insieme Q
diciamo che P è contenuto in Q, o anche che P è un divisore di Q e Q un
multiplo di P. Se P1, P2, P3, ... sono insiemi di punti qualsiasi, in numero finito
o infinito,avranno sia un minimo comune multiplo, che indichiamo con
M(P1, P2, P3, ...) [l’unione]
ed è l’insieme formato da tutti i punti distinti di P1, P2, P3, ... e da nessun
altro, sia un massimo comun divisore, che indicheremo con
D(P1, P2, P3, ...) [l’intersezione]
ed è l’insieme dei punti comuni a tutti i P1, P2, P3, .... Se per esempio P ′ , P ′′ , P ′′′ , ...
sono le derivate successive di un insieme di punti P , possiamo dire che P ′′ è
un divisore di P ′ , P ′′′ è un divisore tanto di P ′′ quanto di P ′ e in generale P (ν)
è un divisore di P (ν−1) , P (ν−2) , ..., P ′ ; invece P ′ non è in generale un divisore
di P - ma se P è a sua volta la derivata prima di un insieme Q, allora lo è.
è anche utile disporre di un segno che esprima l’assenza di punti, e a tale scopo
scegliamo la lettera O; P ≡ O significherà dunque che l’insieme P non contiene
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