Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

all’interno dell’intervallo (0, x), e sia questa somma = f(x). (Se un intervallo
(cν, dν) giace in parte all’ esterno di (0, x), nella somma si dovrà prendere solo
quella sua porzione che cade invece all’interno di (0, x)).
è chiaro che
f(1) = σ.
Se inoltre poniamo che f(0) = 0, ne segue con facilità che f(x) è una funzione
continua di x per 0 ≤ x ≤ 1.
Dalla definizione di x segue infatti immediatamente che se x e x + h sono due
valori distinti nell’intervallo (0, 1) per valori positivi di h si ha
0 ≤ f(x + h) − f(x) ≤ h,
e da ciò deduciamo la continuità di f(x).
Se si torna alla definizione di f(x) è anche subito evidente che, se x e x + h
sono due valori distinti di uno stesso sottointervallo (cν, dν), vale
e quindi anche
Perciò, se introduciamo la funzione
f(x + h) − f(x) = h,
(x + h) − f(x + h) = x − f(x).
φ(x) = x − f(x),
anche questa sarà una funzione continua di x, e quando x cresce da 0 a 1
varierà senza mai diminuire da 0 fino a 1 − σ.
Questa variazione procede in modo tale che all’interno di un sottointervallo
(cν, dν) la funzione continua φ(x) conserva un valore costante.
Di conseguenza, la funzione φ(x) è tale che tutti i valori che assume sono
esauriti dalla successione
φ(u1), φ(u2), ..., φ(uν), ... (5)
In effetti o x è uguale a uno dei valori uν, e in questo caso abbiamo
φ(x) = φ(uν),
oppure è un valore all’interno di un intervallo (cν, dν), e in questo caso, dato
che φ(x) è costante all’interno di tali intervalli, abbiamo
φ(x) = φ(cν) = φ(dν).
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