Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

non era compatibile con l’insieme delle sue assunzioni iniziali, in particolare col
fatto che si potesse estendere inefinitamente un segmento, cioè che la retta fosse
infinita (di cui si era servito nel corso delle dimostrazioni delle proposizioni XI
e XII). Se invece avesse ipotizzato che la retta fosse finita, non avrebbe trovato
alcuna contraddizione, arrivando, analogamente al caso dell’ipotesi dell’angolo
ottuso, alla geometria non-euclidea ellittica.
Analogamente a Saccheri, Lambert (1728-1777) aveva affrontato il problema
delle parallele nella sua opera Teoria delle Parallele del 1776, dove partiva
considerando un quadrilatero trirettangolo e ipotizzava poi che il quarto angolo
fosse retto, ottuso o acuto.
Particolarmente interessanti sono poi i suoi studi sulla “misura assoluta” delle
lunghezze, che sviluppò ispirandosi all’analogia che c’è tra il caso dell’angolo
ottuso e la geometria sulla superficie sferica. Nell’ipotesi dell’angolo acuto
egli aveva scoperto che la lunghezza non era più una misura relativa: ad ogni
segmento di una data lunghezza corrispondeva un certo angolo, invariante per
similitudine (diversamente dal caso della geometria euclidea, in cui la lunghezza
di un segmento non è invariante per similitudine). Nel caso dell’ipotesi
dell’angolo acuto, egli era portato a “quasi trarne la conclusione che [essa]
si presenti nel caso di una sfera immaginaria”, conclusione che ripugnava
l’intuizione dello spazio e lasciò dunque esitante Lambert.
Le scoperte di Saccheri e Lambert, per quanto innovative, non erano destinate
a rivoluzionare il mondo della matematica. Nonostante l’Euclides dovesse
essere molto noto all’epoca, in un articolo apparso l’anno seguente D’Alemebrt
scriveva ancora ad esempio che: “la definizione e le proprietà della retta, così
come delle parallele, sono lo scoglio e per così dire lo scandalo degli elementi
della geometria”.
Nel 1795 Fourier e Monge, ad esempio, si impegnarono in una discussione su
quale fosse il modo migliore di definire una retta, convinti del fatto che una
miglior definizione avrebbe permesso di superare il problema del V postulato.
Fourier, ad esempio, proponeva di assumere come fondamentale il concetto di
distanza tra due punti; si sarebbero potuti definire così la sfera, come luogo
dei punti equidistanti da un punto, il piano, come luogo dei punti equidistanti
da due punti e finalmente la retta, come luogo dei punti equidistanti da tre
punti.
Saccheri si può dunque ritenere “moralmente” il padre delle geometrie non-
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