Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

Dopo aver definito cos’è una quantità variabile definisce anche la funzione come
quantità variabile, infatti scrive:
La funzione di una quantità variabile è essa stessa una quantità variabile.
Qui inizia a classificare i vari tipi di funzioni:
Il principio discriminante delle funzioni è posto nella modalità di combinazione
con la quale sono formate da quantità variabili e quantità costanti.
Deriva perciò dalle operazioni, con le quali le quantità si possono comporre
e mescolare; queste operazioni sono addizione e sottrazione, moltiplicazione e
divisione, elevazione a potenza e estrazione da radice, alla quale si deve imputare
anche la soluzione delle equazioni. Eccetto queste operazioni, che soliamo
chiamare algebriche, ce ne sono molte altre trascendenti; come le esponenziali,
le logaritmiche ed innumerevoli altre, che forniscono il calcolo integrale.
Le funzioni si dividono in algebriche e trascendenti; la prime sono quelle che si
compongono delle sole operazioni algebriche; le altre, invece, quelle nelle quali
sono presenti le operazioni trascendenti.
Le funzioni algebriche si dividono in razionali e irrazionali; sono le prime se
la variabile non viene coinvolta in alcuna irrazionalità; le altre invece, sono
quelle nelle quali viene attribuita alla quantità variabile la radicalità.
Le funzioni razionali si dividono ancora in integrali e fratte.
La formula di Eulero
26 Eulero trovò la seguente importante formula, punto di partenza per la
determinazione dei logaritmi complessi:
e iϑ = cosϑ + isinϑ
La giustificazione che diede fu basata sullo sviluppo di Taylor di ex . Si ha
infatti:
e x = 1 + x + x2 x3
+ + . . .
2! 3!
Se noi sostituiamo x = iϑ risulta:
e iϑ = 1 + iϑ − ϑ2 iϑ3 ϑ4
− + + . . .
2! 3! 4!
Ora tenendo presente i ben noti sviluppi del seno e del coseno che sono:
26 questa sezione è ripresa da [8].
cos(x) = 1 − x2
2!
320
+ x4
4!
− . . .