Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

In realtà la definizione di numero naturale per Frege, è molto simile a quella
data da Cantor dalla quale differisce quasi esclusivamente per l’aspetto della
correttezza logica.
Mentre Cantor giungeva alla definizione di numero cardinale tramite un’astrazione
di tipo psicologista, per poi far intervenire una relazione di equivalenza
tra classi - questo per inciso dava una soluzione problematica in quanto
non consentiva di capire quali tipo di oggetti fossero stati definiti con tale
astrazione - Frege compie invece il cammino inverso, individuando prima la
relazione di equinumerosità (equivalente a quella di equivalenza tra classi di
Cantor) e poi tramite un processo di astrazione ben definito dà la definizione
cercata.
Definizione per astrazione
Accanto alla definizione per postulati dei numeri finiti - che vedremo in
seguito -, Peano ne propone una più generale, che si può applicare a tutti i
numeri cardinali, sia finiti sia transfiniti: egli la chiama definizione per astrazione.
L’idea della definizione per astrazione è molto vicina al modo in cui
apprendiamo l’uso dei termini astratti. Noi diciamo la massa di a è uguale
alla massa di b, che il colore di a è uguale al colore di b, la lunghezza di a è
uguale alla lunghezza di b. Non occorre sapere cosa sia “la massa di a o di b”
ma basta saper riconoscere se esse sono uguali oppure no: ad esempio tramite
una bilancia a due piatti; e si noti che grazie a questo non si cade in un circolo
vizioso dato che non ci interessa la definizione di massa. A livello matematico
si trattano di relazioni d’equivalenza, ovvero relazioni riflessive, simmetriche è
transitive.
Questo è ciò che accade nella teoria dei numeri cardinali di Cantor. In
questa teoria l’espressione “avere lo stesso cardinale” è perfettamente definita;
possiamo dunque stabilire se due classi hanno lo stesso numero cardinale;
tuttavia non è definito il significato di “numero cardinale di ()”: in altri termini
la teoria di Cantor non ci dice che cosa sia il numero cardinale di una classe.
Ogni relazione d’equivalenza ha un’importante proprietà: sia A una classe
di elementi x, y, z, ... ed una relazione R di equivalenza. Consideriamo ora, per
ogni elemento x di A, la classe α(x) di tutti gli elementi di A che stanno in
relazione con x (la classe di equivalenza).
α(x) = {y ∈ A : yRx}
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