Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

Proposizioni.
Il primo libro degli Elementi contiene 48 proposizioni che hanno per oggetto
la congruenza dei triangoli, le rette parallele e le aree. Nelle prime tre
proposizioni Euclide si preoccupò di mostrare che anche una interpretazione
molto restrittiva del Postulato 3 ammette che si possa usare liberamente il
compasso come si fa di solito per riportare le distanze in geometria elementare.
Analizziamo tale proposizione e vediamone una dimostrazione letterale
data da una versione critica dell’opera (edizione teubneriana dell’Opera Omnia
di Euclide), in cui l’autore ha cercato di rimanere fedele alle particolarità
del testo greco.
II Porre sul punto dato una retta uguale alla retta data.
Dimostrazione. Sia il punto dato A la retta data BΓ: si deve pertanto porre
sul punto A una retta uguale alla retta data BΓ. Sia infatti stata congiunta
dal punto A fino al punto B una retta AB, e sia stato costruito su di essa
un triangolo equilatero ∆AB [Proposizione1], e siano state prolungate in linea
retta con ∆A, ∆B rette AE, BZ, e con centro B e intervallo BΓ sia stato
tracciato un cerchio ΓHΘ, e di nuovo con centro ∆ e intervallo ∆H sia stato
tracciato un cerchio HKΛ. Poichè dunque il punto B e centro del cerchio
ΓHΘ , BΓ è uguale a BH. Di nuovo, poichè il punto ∆ è centro del cerchio
KΛH, ∆Λ è uguale a ∆H, delle quali ∆A è uguale a ∆B. AΛ restante è
quindi uguale a BH restante. E fu anche dimostrata BΓ uguale a BH: una
e l’altra delle AΛ, BΓ è quindi uguale a BH. E gli uguali allo stesso sono
anche uguali tra loro: anche AΛ è quindi uguale a BΓ. Risulta quindi posta
sul punto dato A una retta AΛ uguale alla retta data BΓ: il che si doveva
fare.
Facendo una traduzione moderna di tale dimostrazione ci viene naturale usare
il termine congruente dove invece Euclide parla di uguaglianza. Euclide peró
non assegna una lunghezza ad un segmento rettilineo o una misura ad un angolo.
La nozione di uguaglianza in Euclide deve essere interpretata nel senso
che i segmenti rettilinei ed angoli uguali possono essere spostati nel piano fino
a quando essi non coincidono.
Si nota però che nelle sue dimostrazioni Euclide spesso fa uso di Postulati non
espressi. Nella prima proposizione degli Elementi, per esempio, egli assume,
senza dimostrarlo, che due cerchi si intersechino in un punto. Per questo e altri
casi simili è necessario aggiungere ai postulati un ulteriore Postulato equivalente
al principio di continuità. Inoltre, i Postulati I e II, così come vengono
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