Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

Sia ABC il triangolo da quadrare. Si disegni
DA = AB puntando il compasso in A e con raggio
AB. Ora si bisechi AC individuando il punto F
e si bisechi a sua volta il segmento DF producendo
il punto G. Si punti in G e con raggio DG si
disegni il semicerchio DEF che interseca AB in
E.
Allora EA è il lato del quadrato (rosso) di area
uguale al triangolo di partenza (verde). Infatti:
mentre
Area triangolo ABC =
AC · AB
2
Area quadrato rosso = EA 2
ma sappiamo che DA = AB, DA : EA = EA : AF da cui EA 2 = DA · AF e
poiché per costruzione AF = AC
2 si ha
Area quadrato rosso = EA 2 = DA·AF = DA· AC
2
7.2.2 La trisezione di un angolo
= AB·AC
2
= Area triangolo ABC.
Vediamo innanzitutto come gli antichi greci costruivano angoli di diverse
misure ricavandadoli ad esempio dalla costruzione di poligoni regolari. Iniziando
dalla costruzione di pochi angoli fondamentali, come quello di 60 ◦ :l’angolo
di un triangolo equilatero, di 90 ◦ : l’angolo di un quadrato, e 108 ◦ l’angolo di
un pentagono regolare, erano poi in grado di costruire altri angoli applicando
uno o più fra i seguenti procedimenti:
1. sommare due angoli dati,
2. sottrarre un angolo dato da un altro,
3. bisecare un angolo assegnato.
È naturale quindi che cercassero anche un metodo generale per costruire
un angolo che sia la terza parte di un qualsiasi angolo dato. Un’ ipotesi
sull’origine di questo problema potrebbe anche essere che dopo essere riusciti
a costruire molti poligoni regolari, come il pentagono, i Greci speravano di
poter continuare la costruzione di poligoni regolari. La trisezione di un angolo
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