Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

dei punti che hanno entrambe le coordinate non negative. La tangente all’ellisse
nel punto C è determinata una volta che è stata trovata la perpendicolare
a questa nel punto C, quella che viene detta normale all’ellisse nel punto C.
Descartes vuole costruire quest’ultima, e ne cerca il punto P di intersezione con
l’asse maggiore dell’ellisse. Chiama s e v le lunghezze dei segmenti PC e PA
rispettivamente, e poi applica il Teorema di Pitagora al triangolo rettangolo
PMC, ottenendo l’equazione:
x 2 + (v − y) 2 = s 2 .
Essa mette in relazione s e v con le coordinate (x,y) del punto C. Descartes
ne ricava l’espressione di x 2 in termini di y, s e v. Poi sostituisce questa
espressione al posto di x 2 nell’equazione dell’ellisse. Ovvero
x 2 = −(v − y) 2 + s 2
e sostituendo ciò nell’equazione dell’ellisse si ottiene
s 2 − v 2 + 2vy − y 2 + r
q y2 − ry = 0 (9.1)
La nuova equazione ottenuta contiene solo y, s, v: essa permette quindi di
determinare, a partire dall’ordinata y del punto C, la relazione esistente fra i
valori di s e v. Per determinare questi valori è necessaria un’altra condizione.
Questa si ricava nel modo seguente: si impone che il cerchio di centro il punto
P e raggio s di equazione
(y − v) 2 + x 2 = s 2
intersechi l’ellisse nel solo punto C. Dal punto di vista algebrico, ciò equivale a
richiedere che il discriminante di una certa equazione di grado due sia nullo 8 .
Si mette poi a sistema tale condizione con quella in 9.1 e si arriva a determinare
il punto P e quindi poi la normale in C (vista come retta passante per due
8 si noti che questo procedimento si può estendere a tutte le curve polinomiali F (x, y);
più tardi ci si accorse che trovare la tangente era più semplice, infatti bastava imporre
all’equauzione della curva le coordinate di una generica retta per il punto di tangenza (x0, y0),
imporre alla formula così ricavata un contatto doppio nel punto di tangenza, ossia P (x) =
(x − x0) 2 Q(x), con Q(x) polinomio a coefficienti incogniti e mediante il principio di identità
dei polinomi ricavare tutti i coefficienti, fra cui quello della retta. Notiamo che i conti
potevano essere molto lunghi, ma che arrivava sempre a destinazione (ma solo nel caso
polinomiale!).
293