Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

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formule, ricavate una dall’altra tramite le regole di derivazione a partire dagli assiomi, che termina in una stringa che è esattamente il teorema che è stato dimostrato. Dunque se, data una certa espressione φ, esiste una sequenza finita di formule, legate dalle regole di derivazione, che termina nell’espressione data, allora si dice che tale espressione è dimostrabile all’interno di PA e si indica ⊢P A φ. • Assiomi. Inseriamo innanzitutto degli assiomi logici: (φ ∨ φ) → φ; φ → (φ ∨ ψ); (φ ∨ ψ) → (ψ ∨ φ); (φ → ψ) → ((ϕ ∨ φ) → (ϕ ∨ ψ)). Questi sono gli assiomi relativi alla disgiunzione, ai quali andranno aggiunti quelli della congiunzione e gli altri connettivi logici. A questi aggiungiamo gli assiomi di Peano, più alcuni assiomi che definiscono la somma e la moltiplicazione: ∀x (s(x) �= 0) ∀x, y (s(x) = s(y) → x = y) ∀x (x + 0 = x) ∀x, y (x + s(y) = s(x + y)) ∀x (x × 0 = 0) ∀x, y (x × s(y) = (x × y) + x) (φ(0)&∀x (φ(x) → φ(s(x)))) → ∀x (φ(x)). 2 2 L’induzione 656
19.3.1 La numerazione di Gödel Per provare i suoi teoremi, egli elabora uno strumento che permette la realizzazione effettiva della visione hilbertiana della metamatematica, la cosiddetta ‘aritmetizzazione della sintassi’. Essa consiste in una codifica delle componenti sintattiche della teoria in modo da far corrispondere ad ogni termine, ad ogni formula e ad ogni derivazione uno e un solo numero naturale. Dopo aver definito il sistema, Gödel illustra un suo metodo per assegnare ad ogni simbolo, formula o dimostrazione un determinato numero, chiamato appunto numero di Gödel. In realtà ci sono moltissimi modi diversi per fare questo assegnamento e non è molto importante, ai fini della dimostrazione, quale metodo viene usato. L’importante è trovare una relazione iniettiva, ma non necessariamente suriettiva, che associ dei numeri alle formule del nostro sistema. Useremo ora un metodo molto simile a quello usato da Gödel. • I simboli. Prima di tutto vengono assegnati dei numeri ai simboli. Ai simboli costanti vengono assegnati i numeri dispari dall’1 al 25, secondo la seguente regola: 0 s + × ( ) & ∨ ¬ → ∀ ∃ = 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 Passiamo poi alle variabili. Mentre i simboli costanti da utilizzare erano in numero finito, le variabili non lo sono, per cui seguiremo la regola che ad ogni variabile numerica viene assegnato un numero primo più grande di 25: x y z ... 29 31 37 ... 657
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Università degli studi di Padova a
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2.2.4 Sistema di numerazione . . .
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5 Euclide 159 5.1 Contesto storico
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9.2.5 Isaac Barrow . . . . . . . .
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13.2.2 I razionali . . . . . . . .
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19 Kurt Gödel 647 19.1 La vita . .
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1.2 L’aritmetica 1.2.1 Contare Co
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Figura 1.2: Il sistema di numerazio
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della storia 9 . Il papiro di Ahmes
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sistemi in cui il valore di uno ste
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Figura 1.7: Un’incisione rupestre
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Figura 1.9: I disegni di Nazca: una
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per costruire triangoli rettangoli
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usavano i numeri cardinali e non qu
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Capitolo 2 Le antiche civiltà dell
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te da preoccupazioni di ordine mist
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delle date l’ordine e l’armonia
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almeno nella forma in cui noi la in
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Il quipu non poteva essere usato co
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Prima della seconda metà del XVI s
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La prima fonte scritta giunta fino
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2.2.3 Contatti e scambi con l’Eur
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scientifico, caratteri particolari
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zero si presentò quando le bacchet
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4 9 2 3 5 7 8 1 6 La leggenda, abba
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delle bacchette era analoga a quell
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Applicando la regola di Cramer si h
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egistrato nella prima riga, quella
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Si noti che un trattino diagonale i
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Attualmente scriveremmo questo prob
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Moista 3 , testo che ebbe pochissim
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si trova un’approssimazione sorpr
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terminata, che raggiunse un livello
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tro sottesi da esse, gli autori dei
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(a noi nota come equazione di Pell)
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specifici per indicare 4, 10 e 20;
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numeri che devono essere moltiplica
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“La fune tesa della diagonale di
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Molti secoli dopo, nel XV secolo, u
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2.3.10 Il concetto di infinito Se l
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Capitolo 3 La matematica nella Grec
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certezza se Talete o Pitagora ne ab
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al servizio degli aristocratici. A
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degli aristocratici. Fra queste cit
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a.C.; le due maggiori città greche
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ed ai valori ideali ed eterni, disp
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• l’espansione verso Oriente e
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loro grandi biblioteche non fossero
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o più grandi maestri. Questo fenom
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Figura 3.3: Sistema ionico Poiché
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Mileto rappresentava un grande cent
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Purtroppo Talete non ha scritto nul
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Per quel che riguarda il teorema 4,
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Â≪ ...stupefatto del modo in cui
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Figura 3.7: Calcolo dell’altezza
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un segmento dato un rapporto fissat
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greci; non a caso Platone, uno dei
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studi medici era diffuso proprio ne
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• Gli acusmatici ( dal verbo grec
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proporzione 3 : 2 a indicare una re
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3.6.4 Il numero come principio dell
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del dispari, mentre il male, il dis
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1. E’ dato un numero figurato. Fi
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esempio 11; allora: e quindi Figura
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I pitagorici collegavano la distinz
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Tabella 3.1: Rappresentazione rispe
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Figura 3.21: (a + b) 2 = (a − b)
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di cui una traduzione letteraria è
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e. Le nuove grandezze vennero chiam
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La sfida che i matematici greci si
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Bibliografia [1] Storia della Matem
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Il IV secolo si aprì con la morte
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4.2 Zenone di Elea 4.2.1 Introduzio
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Consideriamo un segmento di estremi
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Qual è la velocità di un punto de
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• Molti, come ad esempio Carl Boy
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linea e della superficie; la sua cr
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1. idee che si riferiscono ai valor
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ca e geometria tra le quattro mater
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- Ogni angolo di un pentagono regol
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4.4 Eudosso Eudosso (408-355 a.C.),
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frazioni, ossia a c b = d se e solo
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E poichè DG è maggiore di AH, se
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4.5 Il concetto di infinito nel pen
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Bibliografia [1] Ivan Niven, Numeri
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nell’ ambito mentale, doveva esse
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giovane dei discepoli di Platone, m
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di qualcosa, e un problema, in cui
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sognerà quindi dedurle da proposiz
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• Nozioni speci che: verità che
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estremi.” Archimede e poi Legendr
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matematici moderni non fanno alcuna
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accettate senza dimostrazione, e ra
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espressi da Euclide, non garantisco
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venivano concepite come segmenti ch
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Viene spesso affermato che l’alge
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a = k 1 1 nb e c = k nd. DEFINIZION
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Siano i numeri piani a = cd e b = e
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matico in sè concluso, risalente p
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si hanno per resto misura la preced
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metodi tradizionali dei matematici
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Infatti passando dal segmento circo
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se a ha la parte aurea x, allora il
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Bibliografia [1] Benno Artmann, Euc
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6.1 Vita e morte Non sono molte le
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matematica antica proseguì le rice
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Archimede. Lo studio della spirale
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come P ZA, la cui somma è minore d
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“l’area di una qualsiasi sfera
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Archimede utilizzò con grande fine
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nell’illustre filosofo. Il primo
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6.3.9 Il libro dei lemmi Quest’op
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interlocutore su alcuni risultati m
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del segmento parabolico: Dato il se
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A causa del parallelismo si ha AC :
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diverse testimonianze di storici no
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Questa volta la testimonianza ci gi
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più semplice per tali specchi è u
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6.6 Considerazioni finali L’opera
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Capitolo 7 I problemi classici 7.1
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Una prima cosa da notare è che il
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di razionalità un insieme di numer
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(x1, y1), (x2, y2), ... (xn−1, yn
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con un numero arbitrario n di lati,
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si osserva che trovare una soluzion
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Dinostrato, servendosi di questa cu
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Sia ABC il triangolo da quadrare. S
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Per trisecare un angolo di π 4 è
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Allora, chiaramente, se lungo ogni
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se n e m non sono entrambi cubi di
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cioè un cubo di spigolo x equivale
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cioè AC : AP = AP : AM = AM : AB,
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Bibliografia [1] T. Heath, A histor
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È aneddoto comune che di fronte al
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8.2 La Matematica di al-Khwārizmī
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Struttura dell’al-jabr. L’opera
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8.2.3 Altri matematici di spicco. A
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8.3.1 I simboli di somma e sottrazi
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L’Italia sembra insensibile a que
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Figura 8.4: Il Teorema di Pitagora
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Capitolo 9 Da Tartaglia a Cauchy: n
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sancito il principio del cuius regi
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Si tratta quindi di risolvere un’
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- Guerra dei trent’anni (1618-164
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• problemi sulla distanza • il
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asate su assiomi arriva a delle cer
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II. Sulla natura delle linee curve
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3. il grado di questa equazione alg
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geometrici Descartes affronta il pr
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di infiniti punti C il cui luogo è
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maniera simile CD spinge DE e così
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trovare la normale ad una curva alg
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punti) e la tangente. Significativo
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Figura 9.4: Bonaventura Francesco C
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Figura 9.5: Pierre de Fermat (1601
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curve algebriche elaborò un metodo
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Figura 9.7: Dimostrazione del Teore
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fondamenti della fisica e dell’as
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Newton condivideva con il suo maest
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Figura 9.9: Gottfried Wilhelm Leibn
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di qui deriva che si debbano in pri
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Leibniz fu uno dei più grandi inve
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9.3.1 Contesto storico e matematico
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Figura 9.10: Jakob Bernoulli (1654
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allora: ∂f d ∂f ϕ + = 0 ∂y d
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Dopo aver definito cos’è una qua
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Figura 9.13: George Berkeley (1685
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tale quantità con una lettera pres
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Capitolo 10 Analisi e Fisica Matema
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predecessori e che era il suo vanto
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Egli era legato infatti al rigore a
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Riemann riuscì a legare molti risu
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10.6 Cenni storici: Fisica Matemati
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si hanno quindi in questo secolo i
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Figura 10.7: Jacobi al neoumanesimo
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un contributo dello stesso livello.
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soluzione nei complessi. Ricordiamo
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campo, magari nemmeno definito accu
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Riportiamo qui sotto una cartina de
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grado superiore al 5 ◦ è la memo
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Lagrange scrisse che Ruffini “non
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aritmetiche ripetute un numero fini
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infanzia. Compiuti gli studi a Gott
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Per semplicità, Gauss restrinse il
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La necessità di una profonda rifor
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con il loro significato originario,
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corpo a quattro dimensioni in cui v
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ij = k, jk = i, ki = j, ji = −k,
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Teorema 15. Ogni algebra divisoria
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le proprietà topologiche della map
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simbolo 1. Nello specifico Boole in
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Boole Oggi Significato + ∪ unione
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“fondiamo la teoria dei numeri co
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“Quando confrontiamo i due grandi
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Gruppi di trasformazioni geometrich
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L’algebra passa da essere studio
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Una relazione ordinale del momento
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dove a è lo step corrispondente al
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E = ϑa + A; E ′ = ϑa + E; E ′
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caso della addizione algebrica, dal
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Solamente il caso che considera lo
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di due dfferenti steps. L’idea de
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Bibliografia [1] Boyer C. B., Stori
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Figura 12.1: G. Cantor qualsiasi co
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12.2 Le opere Presentiamo qui di se
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Nella Theorie de la chaleur [8, (18
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altre serie della stessa forma che
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convergente per tutti i valori di x
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e f(x) = 1 2 a′ +∞ � 0 + n=1
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erne le tappe esula dagli scopi del
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dei numeri naturali. Tutti gli altr
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In seguito concentrò i propri sfor
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di accumulazione dei punti di accum
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12.4 La potenza di un insieme Gli s
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grande dell’insieme infinito di q
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o avranno uguale potenza M e una pa
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Figura 12.2: Numerazione dei razion
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di ogni ordine n, già aveva intuit
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[eindeutige Zuordnung] degli elemen
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a dare una risposta negativa che qu
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voi scrivete costantemente x = α1
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irrazionali dell’intervallo (0, 1
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Se a e b sono due grandezze variabi
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Basiamo la dimostrazione di (F) sul
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Per quanto affermato nel teorema (H
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“...se non si impone nessuna cond
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La biezione da prendere sarà dunqu
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nessun punto, e quindi a rigore nem
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proseguendo nello stesso modo otten
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al proprio interno punti di tale in
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li interi positivi. Io chiamo le mo
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che i punti ad esso appartenenti po
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e dell’autore (Mathem. Annalen, v
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limite inferiore delle distanze q
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un numero finito di intervalli con
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all’interno dell’intervallo (0,
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12.7 L’infinito Le prossime sezio
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concetto, che verrà poi ripreso da
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stesse sostanze create da Lui dal n
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Kroneker che sosteneva che ‘Dio h
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12.8 I numeri ordinali Per capire a
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12.8.1 Costruzione dei numeri ordin
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ma mostrarsi anche mezzo capace di
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di tutti i precedenti. Varrà dunqu
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• Si consideri un insieme ben def
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determinato da un numero di una cla
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ammette sempre e solo una soluzione
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Limitiamoci a considerare i numeri
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12.9 L’ipotesi del continuo In pr
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Bibliografia [1] CANTOR, G., Über
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Capitolo 13 La costruzione dei nume
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y + x = 0, la ricerca delle soluzio
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• [(a, b)] ≥ [(c.d)] ↔ a + d
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Usando ripetutamente il fatto che h
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dell’aritmetica. L’addizione è
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1) dati tre punti p, q, r sulla ret
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Dato un razionale a possiamo costru
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dove HK = {q ∈ Q : q = hk , h ∈
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oppositori. Muore nel 1918. A lui s
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Successioni di Cauchy Definizione 8
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per tali m, n abbiamo che |bm − b
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Siano (an) e (bn) due rappresentant
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• un minorante per A ⊆ X è un
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Dimostrazione. (a) ⇒ (b). Sia K c
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• Prodotto: per ogni S, T ∈ �
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Sia x ∈ i(S + T ), allora ∃s
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Bibliografia [1] Giovanni Sambin, a
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14.2 I paradossi “Il paradosso è
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paiano direttamente non significa c
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14.3 La crisi dei fondamenti della
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I paradossi della teoria di Cantor
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principio di comprensione. Il parad
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Bibliografia [1] Bell, Eric T., I g
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15.2 Il V postulato di Euclide L’
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Teorema 105. A seconda che il quadr
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Sembrava quindi che la dimostrazion
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euclidee. Egli le aveva già costru
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e quei teoremi della geometria ordi
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L’angolo di parallelismo permette
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vamente alla geometria sviluppata d
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non-euclidei. Nella costruzione far
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Possiamo ora passare allo spazio pr
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1. Γ 2. non-degenere e non-definit
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Bibliografia [1] Bell, Eric T., I g
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privata che offriva un curriculum m
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16.2 Hilbert ed i Fondamenti Il met
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Quindi la proposta di Frege si era
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Tuttavia non erano d’accordo con
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1. Formalizzazione: fare in modo ch
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del Programma, anche nelle prime fa
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è impossibile. I diretti interessa
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Capitolo 17 Logicismo 17.1 La nasci
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di logica abbracciava la tesi che e
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i suoi principali artefici furono q
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a una definizione che ricorreva all
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tria - che, in accordo con Kant, ri
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membri. Possiamo definire il numero
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dell’analisi il concetto stesso d
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Innanzitutto, riducendo la forma lo
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“Piero” dalla funzione “( )
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• ⊢ (p → (q → r)) → ((p
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Figura 17.3: L’equivalente signif
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Concetto ed oggetto Concetto: in se
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Critica poi anche Cantor, nonostant
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Si dimostra che R determina una par
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conosciuta qualche qualità comune,
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se stesso”. w può essere predica
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La via d’uscita di Frege Il primo
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Page 626 and 627: matematica veniva presentata come u
Page 628 and 629: al minimo l’uso e indagare quanto
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Page 632 and 633: Per ovviare a questa difficoltà Ru
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Page 638 and 639: il lavoro di Russell, che nel fratt
Page 640 and 641: una giustificazione logica della ma
Page 642 and 643: Definizione 17.1 (Assioma della sce
Page 644 and 645: 17.8 Neologicismo Crispin Wright (1
Page 646 and 647: Capitolo 18 L’intuizionismo 18.1
Page 648 and 649: ente cosiddetta dell’intuizionism
Page 650 and 651: per lasciare il posto ad un nuovo p
Page 652 and 653: za di Brouwer è il legame stretto
Page 654 and 655: dei suoi obiettivi principali era q
Page 656 and 657: che si manifesta nei casi in cui il
Page 658 and 659: Bibliografia [1] Bottazzini, Umbert
Page 660 and 661: Gödel frequentò abbastanza regola
Page 662 and 663: Su sollecitazione di Menger, egli s
Page 664 and 665: Scrisse di lui Solomon Feferman: Fi
Page 666 and 667: Figura 19.3: Metamatematica, aritme
Page 670 and 671: Si vede chiaramente che non ci sono
Page 672 and 673: 19.3.2 Dimostrazione e Sostituzione
Page 674 and 675: ∀x(¬Dim(x, Sost(n, 31, n))) Ma q
Page 676 and 677: modo aggiungendo (γP A1) agli assi
Page 678 and 679: ma che è impossibile farlo usando
Page 680 and 681: Gödel era un platonista, ma si era
Page 682 and 683: corrisponde una formula aritmetica
Page 684 and 685: Bibliografia [1] Paul Bernays, “D
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Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

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