Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

“fondiamo la teoria dei numeri contenuti in I, cioè di tutti i numeri
interi del corpo K sul seguente nuovo concetto: un sistema A di
infiniti numeri contenuti in I si chiama un ideale se soddisfa le due
condizioni seguenti:
1. la somma e la differenza di due qualunque numeri di A sono
ancora numeri appartenti ad A;
2. ogni prodotto di un numero di A e di un numero di I è ancora
un numero di A.”
In termini odierni un ideale di un anello è un sottogruppo additivo dell’anello,
chiuso per il prodotto per elementi dell’anello. Un ideale è detto principale se
è generato da un solo elemento. Una volta definito il prodotto di due ideali A e
B, è possibile anche dire che I divide J se esiste un ideale K tale che J = IK.
Si noti che la divisibilità degli ideali è strettamente connessa all’inclusione.
Diremo che
(m) ⊆ (n), n|m;
cioè l’ideale generato da m è contenuto nell’ideale generato da n se e solo se
n divide m.
Questa proprietà è particolarmente chiara nell’anello degli interi. Ad esempio
si ha che (2) è l’ideale generato da 2 e quindi contiene tutti i suoi multipli,
mentre (4) contiene tutti i multipli di 4. Diciamo che 2 divide 4 perché è un
suo divisore, d’altra parte (4) ⊆ (2) perché tutti i multipli di 4 sono anche
multipli di 2, ma 6 è un esempio di multiplo di 2 che non è multiplo di 4,
quindi 6 ∈ (2) ma 6 /∈ (4).
Per ideale primo si intende un ideale che ha come divisori solo se stesso e
l’unità: I è primo se ab ∈ I allora a ∈ I o b ∈ I. Questo permette di
giungere ad un teorema che afferma che ogni ideale può essere fattorizzato in
maniera unica nel prodotto di ideali primi; questo teorema è chiaramente una
generalizzazione dell’analogo teorema di fattorizzazione per i numeri interi(da
notare che non vale l’unicità della fattorizzazione).
La novità fondamentale di Dedekind risiede nel fatto che le sue definizioni sono
astratte, cioè basate su proprietà essenziali e non su relazioni con particolari
rappresentazioni o descrizioni.
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