Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

More documents

Recommendations

Info

17.8 Neologicismo Crispin Wright (1942-) è un filosofo inglese, che ha dato luce alla corrente, con scarso seguito, del cosiddetto neo-fregeismo o neo-logicismo. Infatti sostiene che il progetto logicista di Frege possa essere rivisto rimuovendo il principio di comprensione illimitata (la sua legge V) dal sistema formale e sostituendolo con il principio di Hume. L’aritmetica è derivabile dalla logica di secondo ordine più il principio di Hume. Wright ha argomentato informalmente che: 1. il principio di Hume più la logica del secondo ordine sono consistenti 2. da questi si possono dedurre gli assiomi di Peano Entrambi questi argomenti vennero dimostrati in maniera più rigorosa da George Boolos. Rimandiamo al loro articolo per un approfondimento della questione. 632
Bibliografia [1] Stefano Donati, I fondamenti della matematica nel logicismo di Bertrand Russell, (fortemente consigliato, per quanto riguarda il logicismo in generale) [2] Bertrand Russell, I principi della matematica, seconda edizione, 1925 [3] Anthony Kenny, Frege, un’introduzione, 1995 [4] Mario Dariani, Introduzione a Frege, editori laterza, 1994 [5] Vario materiale reperito in rete e relazioni degli anni precedenti [6] Gottlob Frege, Alle origini della nuova logica, epistolario scientifico, Boringhieri [7] Carl Boyer, Storia della matematica 633
Page 1:
Università degli studi di Padova a
Page 4 and 5:
2.2.4 Sistema di numerazione . . .
Page 6 and 7:
5 Euclide 159 5.1 Contesto storico
Page 8 and 9:
9.2.5 Isaac Barrow . . . . . . . .
Page 10 and 11:
13.2.2 I razionali . . . . . . . .
Page 12 and 13:
19 Kurt Gödel 647 19.1 La vita . .
Page 14 and 15:
1.2 L’aritmetica 1.2.1 Contare Co
Page 16 and 17:
Figura 1.2: Il sistema di numerazio
Page 18 and 19:
della storia 9 . Il papiro di Ahmes
Page 20 and 21:
sistemi in cui il valore di uno ste
Page 22 and 23:
Figura 1.7: Un’incisione rupestre
Page 24 and 25:
Figura 1.9: I disegni di Nazca: una
Page 26 and 27:
per costruire triangoli rettangoli
Page 28 and 29:
usavano i numeri cardinali e non qu
Page 30 and 31:
Capitolo 2 Le antiche civiltà dell
Page 32 and 33:
te da preoccupazioni di ordine mist
Page 34 and 35:
delle date l’ordine e l’armonia
Page 36 and 37:
almeno nella forma in cui noi la in
Page 38 and 39:
Il quipu non poteva essere usato co
Page 40 and 41:
Prima della seconda metà del XVI s
Page 42 and 43:
La prima fonte scritta giunta fino
Page 44 and 45:
2.2.3 Contatti e scambi con l’Eur
Page 46 and 47:
scientifico, caratteri particolari
Page 48 and 49:
zero si presentò quando le bacchet
Page 50 and 51:
4 9 2 3 5 7 8 1 6 La leggenda, abba
Page 52 and 53:
delle bacchette era analoga a quell
Page 54 and 55:
Applicando la regola di Cramer si h
Page 56 and 57:
egistrato nella prima riga, quella
Page 58 and 59:
Si noti che un trattino diagonale i
Page 60 and 61:
Attualmente scriveremmo questo prob
Page 62 and 63:
Moista 3 , testo che ebbe pochissim
Page 64 and 65:
si trova un’approssimazione sorpr
Page 66 and 67:
terminata, che raggiunse un livello
Page 68 and 69:
tro sottesi da esse, gli autori dei
Page 70 and 71:
(a noi nota come equazione di Pell)
Page 72 and 73:
specifici per indicare 4, 10 e 20;
Page 74 and 75:
numeri che devono essere moltiplica
Page 76 and 77:
“La fune tesa della diagonale di
Page 78 and 79:
Molti secoli dopo, nel XV secolo, u
Page 80 and 81:
2.3.10 Il concetto di infinito Se l
Page 82 and 83:
Capitolo 3 La matematica nella Grec
Page 84 and 85:
certezza se Talete o Pitagora ne ab
Page 86 and 87:
al servizio degli aristocratici. A
Page 88 and 89:
degli aristocratici. Fra queste cit
Page 90 and 91:
a.C.; le due maggiori città greche
Page 92 and 93:
ed ai valori ideali ed eterni, disp
Page 94 and 95:
• l’espansione verso Oriente e
Page 96 and 97:
loro grandi biblioteche non fossero
Page 98 and 99:
o più grandi maestri. Questo fenom
Page 100 and 101:
Figura 3.3: Sistema ionico Poiché
Page 102 and 103:
Mileto rappresentava un grande cent
Page 104 and 105:
Purtroppo Talete non ha scritto nul
Page 106 and 107:
Per quel che riguarda il teorema 4,
Page 108 and 109:
Â≪ ...stupefatto del modo in cui
Page 110 and 111:
Figura 3.7: Calcolo dell’altezza
Page 112 and 113:
un segmento dato un rapporto fissat
Page 114 and 115:
greci; non a caso Platone, uno dei
Page 116 and 117:
studi medici era diffuso proprio ne
Page 118 and 119:
• Gli acusmatici ( dal verbo grec
Page 120 and 121:
proporzione 3 : 2 a indicare una re
Page 122 and 123:
3.6.4 Il numero come principio dell
Page 124 and 125:
del dispari, mentre il male, il dis
Page 126 and 127:
1. E’ dato un numero figurato. Fi
Page 128 and 129:
esempio 11; allora: e quindi Figura
Page 130 and 131:
I pitagorici collegavano la distinz
Page 132 and 133:
Tabella 3.1: Rappresentazione rispe
Page 134 and 135:
Figura 3.21: (a + b) 2 = (a − b)
Page 136 and 137:
di cui una traduzione letteraria è
Page 138 and 139:
e. Le nuove grandezze vennero chiam
Page 140 and 141:
La sfida che i matematici greci si
Page 142 and 143:
Bibliografia [1] Storia della Matem
Page 144 and 145:
Il IV secolo si aprì con la morte
Page 146 and 147:
4.2 Zenone di Elea 4.2.1 Introduzio
Page 148 and 149:
Consideriamo un segmento di estremi
Page 150 and 151:
Qual è la velocità di un punto de
Page 152 and 153:
• Molti, come ad esempio Carl Boy
Page 154 and 155:
linea e della superficie; la sua cr
Page 156 and 157:
1. idee che si riferiscono ai valor
Page 158 and 159:
ca e geometria tra le quattro mater
Page 160 and 161:
- Ogni angolo di un pentagono regol
Page 162 and 163:
4.4 Eudosso Eudosso (408-355 a.C.),
Page 164 and 165:
frazioni, ossia a c b = d se e solo
Page 166 and 167:
E poichè DG è maggiore di AH, se
Page 168 and 169:
4.5 Il concetto di infinito nel pen
Page 170 and 171:
Bibliografia [1] Ivan Niven, Numeri
Page 172 and 173:
nell’ ambito mentale, doveva esse
Page 174 and 175:
giovane dei discepoli di Platone, m
Page 176 and 177:
di qualcosa, e un problema, in cui
Page 178 and 179:
sognerà quindi dedurle da proposiz
Page 180 and 181:
• Nozioni speci che: verità che
Page 182 and 183:
estremi.” Archimede e poi Legendr
Page 184 and 185:
matematici moderni non fanno alcuna
Page 186 and 187:
accettate senza dimostrazione, e ra
Page 188 and 189:
espressi da Euclide, non garantisco
Page 190 and 191:
venivano concepite come segmenti ch
Page 192 and 193:
Viene spesso affermato che l’alge
Page 194 and 195:
a = k 1 1 nb e c = k nd. DEFINIZION
Page 196 and 197:
Siano i numeri piani a = cd e b = e
Page 198 and 199:
matico in sè concluso, risalente p
Page 200 and 201:
si hanno per resto misura la preced
Page 202 and 203:
metodi tradizionali dei matematici
Page 204 and 205:
Infatti passando dal segmento circo
Page 206 and 207:
se a ha la parte aurea x, allora il
Page 208 and 209:
Bibliografia [1] Benno Artmann, Euc
Page 210 and 211:
6.1 Vita e morte Non sono molte le
Page 212 and 213:
matematica antica proseguì le rice
Page 214 and 215:
Archimede. Lo studio della spirale
Page 216 and 217:
come P ZA, la cui somma è minore d
Page 218 and 219:
“l’area di una qualsiasi sfera
Page 220 and 221:
Archimede utilizzò con grande fine
Page 222 and 223:
nell’illustre filosofo. Il primo
Page 224 and 225:
6.3.9 Il libro dei lemmi Quest’op
Page 226 and 227:
interlocutore su alcuni risultati m
Page 228 and 229:
del segmento parabolico: Dato il se
Page 230 and 231:
A causa del parallelismo si ha AC :
Page 232 and 233:
diverse testimonianze di storici no
Page 234 and 235:
Questa volta la testimonianza ci gi
Page 236 and 237:
più semplice per tali specchi è u
Page 238 and 239:
6.6 Considerazioni finali L’opera
Page 240 and 241:
Capitolo 7 I problemi classici 7.1
Page 242 and 243:
Una prima cosa da notare è che il
Page 244 and 245:
di razionalità un insieme di numer
Page 246 and 247:
(x1, y1), (x2, y2), ... (xn−1, yn
Page 248 and 249:
con un numero arbitrario n di lati,
Page 250 and 251:
si osserva che trovare una soluzion
Page 252 and 253:
Dinostrato, servendosi di questa cu
Page 254 and 255:
Sia ABC il triangolo da quadrare. S
Page 256 and 257:
Per trisecare un angolo di π 4 è
Page 258 and 259:
Allora, chiaramente, se lungo ogni
Page 260 and 261:
se n e m non sono entrambi cubi di
Page 262 and 263:
cioè un cubo di spigolo x equivale
Page 264 and 265:
cioè AC : AP = AP : AM = AM : AB,
Page 266 and 267:
Bibliografia [1] T. Heath, A histor
Page 268 and 269:
È aneddoto comune che di fronte al
Page 270 and 271:
8.2 La Matematica di al-Khwārizmī
Page 272 and 273:
Struttura dell’al-jabr. L’opera
Page 274 and 275:
8.2.3 Altri matematici di spicco. A
Page 276 and 277:
8.3.1 I simboli di somma e sottrazi
Page 278 and 279:
L’Italia sembra insensibile a que
Page 280 and 281:
Figura 8.4: Il Teorema di Pitagora
Page 282 and 283:
Capitolo 9 Da Tartaglia a Cauchy: n
Page 284 and 285:
sancito il principio del cuius regi
Page 286 and 287:
Si tratta quindi di risolvere un’
Page 288 and 289:
- Guerra dei trent’anni (1618-164
Page 290 and 291:
• problemi sulla distanza • il
Page 292 and 293:
asate su assiomi arriva a delle cer
Page 294 and 295:
II. Sulla natura delle linee curve
Page 296 and 297:
3. il grado di questa equazione alg
Page 298 and 299:
geometrici Descartes affronta il pr
Page 300 and 301:
di infiniti punti C il cui luogo è
Page 302 and 303:
maniera simile CD spinge DE e così
Page 304 and 305:
trovare la normale ad una curva alg
Page 306 and 307:
punti) e la tangente. Significativo
Page 308 and 309:
Figura 9.4: Bonaventura Francesco C
Page 310 and 311:
Figura 9.5: Pierre de Fermat (1601
Page 312 and 313:
curve algebriche elaborò un metodo
Page 314 and 315:
Figura 9.7: Dimostrazione del Teore
Page 316 and 317:
fondamenti della fisica e dell’as
Page 318 and 319:
Newton condivideva con il suo maest
Page 320 and 321:
Figura 9.9: Gottfried Wilhelm Leibn
Page 322 and 323:
di qui deriva che si debbano in pri
Page 324 and 325:
Leibniz fu uno dei più grandi inve
Page 326 and 327:
9.3.1 Contesto storico e matematico
Page 328 and 329:
Figura 9.10: Jakob Bernoulli (1654
Page 330 and 331:
allora: ∂f d ∂f ϕ + = 0 ∂y d
Page 332 and 333:
Dopo aver definito cos’è una qua
Page 334 and 335:
Figura 9.13: George Berkeley (1685
Page 336 and 337:
tale quantità con una lettera pres
Page 338 and 339:
Capitolo 10 Analisi e Fisica Matema
Page 340 and 341:
predecessori e che era il suo vanto
Page 342 and 343:
Egli era legato infatti al rigore a
Page 344 and 345:
Riemann riuscì a legare molti risu
Page 346 and 347:
10.6 Cenni storici: Fisica Matemati
Page 348 and 349:
si hanno quindi in questo secolo i
Page 350 and 351:
Figura 10.7: Jacobi al neoumanesimo
Page 352 and 353:
un contributo dello stesso livello.
Page 354 and 355:
soluzione nei complessi. Ricordiamo
Page 356 and 357:
campo, magari nemmeno definito accu
Page 358 and 359:
Riportiamo qui sotto una cartina de
Page 360 and 361:
grado superiore al 5 ◦ è la memo
Page 362 and 363:
Lagrange scrisse che Ruffini “non
Page 364 and 365:
aritmetiche ripetute un numero fini
Page 366 and 367:
infanzia. Compiuti gli studi a Gott
Page 368 and 369:
Per semplicità, Gauss restrinse il
Page 370 and 371:
La necessità di una profonda rifor
Page 372 and 373:
con il loro significato originario,
Page 374 and 375:
corpo a quattro dimensioni in cui v
Page 376 and 377:
ij = k, jk = i, ki = j, ji = −k,
Page 378 and 379:
Teorema 15. Ogni algebra divisoria
Page 380 and 381:
le proprietà topologiche della map
Page 382 and 383:
simbolo 1. Nello specifico Boole in
Page 384 and 385:
Boole Oggi Significato + ∪ unione
Page 386 and 387:
“fondiamo la teoria dei numeri co
Page 388 and 389:
“Quando confrontiamo i due grandi
Page 390 and 391:
Gruppi di trasformazioni geometrich
Page 392 and 393:
L’algebra passa da essere studio
Page 394 and 395:
Una relazione ordinale del momento
Page 396 and 397:
dove a è lo step corrispondente al
Page 398 and 399:
E = ϑa + A; E ′ = ϑa + E; E ′
Page 400 and 401:
caso della addizione algebrica, dal
Page 402 and 403:
Solamente il caso che considera lo
Page 404 and 405:
di due dfferenti steps. L’idea de
Page 406 and 407:
Bibliografia [1] Boyer C. B., Stori
Page 408 and 409:
Figura 12.1: G. Cantor qualsiasi co
Page 410 and 411:
12.2 Le opere Presentiamo qui di se
Page 412 and 413:
Nella Theorie de la chaleur [8, (18
Page 414 and 415:
altre serie della stessa forma che
Page 416 and 417:
convergente per tutti i valori di x
Page 418 and 419:
e f(x) = 1 2 a′ +∞ � 0 + n=1
Page 420 and 421:
erne le tappe esula dagli scopi del
Page 422 and 423:
dei numeri naturali. Tutti gli altr
Page 424 and 425:
In seguito concentrò i propri sfor
Page 426 and 427:
di accumulazione dei punti di accum
Page 428 and 429:
12.4 La potenza di un insieme Gli s
Page 430 and 431:
grande dell’insieme infinito di q
Page 432 and 433:
o avranno uguale potenza M e una pa
Page 434 and 435:
Figura 12.2: Numerazione dei razion
Page 436 and 437:
di ogni ordine n, già aveva intuit
Page 438 and 439:
[eindeutige Zuordnung] degli elemen
Page 440 and 441:
a dare una risposta negativa che qu
Page 442 and 443:
voi scrivete costantemente x = α1
Page 444 and 445:
irrazionali dell’intervallo (0, 1
Page 446 and 447:
Se a e b sono due grandezze variabi
Page 448 and 449:
Basiamo la dimostrazione di (F) sul
Page 450 and 451:
Per quanto affermato nel teorema (H
Page 452 and 453:
“...se non si impone nessuna cond
Page 454 and 455:
La biezione da prendere sarà dunqu
Page 456 and 457:
nessun punto, e quindi a rigore nem
Page 458 and 459:
proseguendo nello stesso modo otten
Page 460 and 461:
al proprio interno punti di tale in
Page 462 and 463:
li interi positivi. Io chiamo le mo
Page 464 and 465:
che i punti ad esso appartenenti po
Page 466 and 467:
e dell’autore (Mathem. Annalen, v
Page 468 and 469:
limite inferiore delle distanze q
Page 470 and 471:
un numero finito di intervalli con
Page 472 and 473:
all’interno dell’intervallo (0,
Page 474 and 475:
12.7 L’infinito Le prossime sezio
Page 476 and 477:
concetto, che verrà poi ripreso da
Page 478 and 479:
stesse sostanze create da Lui dal n
Page 480 and 481:
Kroneker che sosteneva che ‘Dio h
Page 482 and 483:
12.8 I numeri ordinali Per capire a
Page 484 and 485:
12.8.1 Costruzione dei numeri ordin
Page 486 and 487:
ma mostrarsi anche mezzo capace di
Page 488 and 489:
di tutti i precedenti. Varrà dunqu
Page 490 and 491:
• Si consideri un insieme ben def
Page 492 and 493:
determinato da un numero di una cla
Page 494 and 495:
ammette sempre e solo una soluzione
Page 496 and 497:
Limitiamoci a considerare i numeri
Page 498 and 499:
12.9 L’ipotesi del continuo In pr
Page 500 and 501:
Bibliografia [1] CANTOR, G., Über
Page 502 and 503:
Capitolo 13 La costruzione dei nume
Page 504 and 505:
y + x = 0, la ricerca delle soluzio
Page 506 and 507:
• [(a, b)] ≥ [(c.d)] ↔ a + d
Page 508 and 509:
Usando ripetutamente il fatto che h
Page 510 and 511:
dell’aritmetica. L’addizione è
Page 512 and 513:
1) dati tre punti p, q, r sulla ret
Page 514 and 515:
Dato un razionale a possiamo costru
Page 516 and 517:
dove HK = {q ∈ Q : q = hk , h ∈
Page 518 and 519:
oppositori. Muore nel 1918. A lui s
Page 520 and 521:
Successioni di Cauchy Definizione 8
Page 522 and 523:
per tali m, n abbiamo che |bm − b
Page 524 and 525:
Siano (an) e (bn) due rappresentant
Page 526 and 527:
• un minorante per A ⊆ X è un
Page 528 and 529:
Dimostrazione. (a) ⇒ (b). Sia K c
Page 530 and 531:
• Prodotto: per ogni S, T ∈ �
Page 532 and 533:
Sia x ∈ i(S + T ), allora ∃s
Page 534 and 535:
Bibliografia [1] Giovanni Sambin, a
Page 536 and 537:
14.2 I paradossi “Il paradosso è
Page 538 and 539:
paiano direttamente non significa c
Page 540 and 541:
14.3 La crisi dei fondamenti della
Page 542 and 543:
I paradossi della teoria di Cantor
Page 544 and 545:
principio di comprensione. Il parad
Page 546 and 547:
Bibliografia [1] Bell, Eric T., I g
Page 548 and 549:
15.2 Il V postulato di Euclide L’
Page 550 and 551:
Teorema 105. A seconda che il quadr
Page 552 and 553:
Sembrava quindi che la dimostrazion
Page 554 and 555:
euclidee. Egli le aveva già costru
Page 556 and 557:
e quei teoremi della geometria ordi
Page 558 and 559:
L’angolo di parallelismo permette
Page 560 and 561:
vamente alla geometria sviluppata d
Page 562 and 563:
non-euclidei. Nella costruzione far
Page 564 and 565:
Possiamo ora passare allo spazio pr
Page 566 and 567:
1. Γ 2. non-degenere e non-definit
Page 568 and 569:
Bibliografia [1] Bell, Eric T., I g
Page 570 and 571:
privata che offriva un curriculum m
Page 572 and 573:
16.2 Hilbert ed i Fondamenti Il met
Page 574 and 575:
Quindi la proposta di Frege si era
Page 576 and 577:
Tuttavia non erano d’accordo con
Page 578 and 579:
1. Formalizzazione: fare in modo ch
Page 580 and 581:
del Programma, anche nelle prime fa
Page 582 and 583:
è impossibile. I diretti interessa
Page 584 and 585:
Capitolo 17 Logicismo 17.1 La nasci
Page 586 and 587:
di logica abbracciava la tesi che e
Page 588 and 589:
i suoi principali artefici furono q
Page 590 and 591:
a una definizione che ricorreva all
Page 592 and 593:
tria - che, in accordo con Kant, ri
Page 594 and 595: membri. Possiamo definire il numero
Page 596 and 597: dell’analisi il concetto stesso d
Page 598 and 599: Innanzitutto, riducendo la forma lo
Page 600 and 601: “Piero” dalla funzione “( )
Page 602 and 603: • ⊢ (p → (q → r)) → ((p
Page 604 and 605: Figura 17.3: L’equivalente signif
Page 606 and 607: Concetto ed oggetto Concetto: in se
Page 608 and 609: Critica poi anche Cantor, nonostant
Page 610 and 611: Si dimostra che R determina una par
Page 612 and 613: conosciuta qualche qualità comune,
Page 614 and 615: se stesso”. w può essere predica
Page 616 and 617: La via d’uscita di Frege Il primo
Page 618 and 619: direzione in cui lui l’aveva cerc
Page 620 and 621: Figura 17.5: La curva di Peano dell
Page 622 and 623: condotte in un linguaggio simbolico
Page 624 and 625: 3... qui 0 e 3 hanno lo stesso succ
Page 626 and 627: matematica veniva presentata come u
Page 628 and 629: al minimo l’uso e indagare quanto
Page 630 and 631: tipi. L’idea di fondo della teori
Page 632 and 633: Per ovviare a questa difficoltà Ru
Page 634 and 635: • ⊢ q → p ∨ q • ⊢ p ∨
Page 636 and 637: tra matematica e logica, per Quine,
Page 638 and 639: il lavoro di Russell, che nel fratt
Page 640 and 641: una giustificazione logica della ma
Page 642 and 643: Definizione 17.1 (Assioma della sce
Page 646 and 647: Capitolo 18 L’intuizionismo 18.1
Page 648 and 649: ente cosiddetta dell’intuizionism
Page 650 and 651: per lasciare il posto ad un nuovo p
Page 652 and 653: za di Brouwer è il legame stretto
Page 654 and 655: dei suoi obiettivi principali era q
Page 656 and 657: che si manifesta nei casi in cui il
Page 658 and 659: Bibliografia [1] Bottazzini, Umbert
Page 660 and 661: Gödel frequentò abbastanza regola
Page 662 and 663: Su sollecitazione di Menger, egli s
Page 664 and 665: Scrisse di lui Solomon Feferman: Fi
Page 666 and 667: Figura 19.3: Metamatematica, aritme
Page 668 and 669: formule, ricavate una dall’altra
Page 670 and 671: Si vede chiaramente che non ci sono
Page 672 and 673: 19.3.2 Dimostrazione e Sostituzione
Page 674 and 675: ∀x(¬Dim(x, Sost(n, 31, n))) Ma q
Page 676 and 677: modo aggiungendo (γP A1) agli assi
Page 678 and 679: ma che è impossibile farlo usando
Page 680 and 681: Gödel era un platonista, ma si era
Page 682 and 683: corrisponde una formula aritmetica
Page 684 and 685: Bibliografia [1] Paul Bernays, “D
show all

Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?