Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

Teorema 15. Ogni algebra divisoria unitaria e normata è isomorfa ad una
delle seguenti: R, C, H, O. In particolare non ne esistono in dimensione 2 t
con t ≥ 4.
Spazio Dim su R Si perde
R 1 = 2 0 -
C 2 = 2 1 ordine
H 4 = 2 2 commutatività
O 8 = 2 3 associatività
Ciò significa che non esiste un’algebra (associativa) su R di dimensione tre
e spiega il fallimento di Hamilton (e di De Morgan) nella sua originaria ricerca.
Il problema dei 4 colori
In una delle rare occasioni in cui Hamilton lasciò da parte i quaternioni,
egli schizzò un altro calcolo simbolico sulle radici dell’unità, l’icosian calculus,
un calcolo che in realtà anticipava questioni di moderna teoria dei grafi. Ad
Hamilton sfuggì invece un altro problema di teoria dei grafi, postogli nel 1852
da De Morgan:
“Un mio studente -scriveva De Morgan- dice che se una figura è
divisa in un qualunque modo e le parti colorate in maniera diversa,
in modo tale che figure con in comune una parte qualunque
del contorno siano colorate in maniera differente, possono essere
necessari quattro colori ma non di più... Domanda: non si può
inventare [una figura] che renda necessari cinque colori o più?”
Nella risposta Hamilton scriveva che non avrebbe potuto affrontare entro breve
tempo il problema del “quaternione di colori”. In realtà non si occupò mai della
cosa e Francis Guthrie, lo studente di De Morgan, dovette aspettare oltre un
secolo per avere una risposta.
Attualmente la questione è conosciuta come il teorema dei quattro colori:
Teorema 16. Data una regione piana divisa in regioni connesse, come ad
esempio una carta geografica politica, sono sufficienti quattro colori per colorare
ogni regione facendo in modo che regioni adiacenti non abbiano lo stesso
colore.
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