Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

dove HK = {q ∈ Q : q = hk , h ∈ H , k ∈ K}. Se α e β sono entrambi
negativi, allora α · β := (−α) · (−β) e se α < 0 e β > 0 allora α · β :=
− (−α)·β. L’unità è la sezione definita dal numero razionale 1 e l’inverso
di α è 1
α := (Q\A−1 + , A −1
+ ) dove A −1
+ = {q ∈ Q : q = 1
a , a ∈ A , a > 0} se
1 := − −α se α < 0.
α > 0, 1
α
È facile verificare che con queste operazioni R è un campo ordinato. Per
mostrare che è completo, introduciamo la seguente
Definizione 81. Un campo ordinato K si dice Dedekind-continuo se ogni
sezione (A, B) di K ammette un unico separatore in K.
Vedremo in seguito che per un campo ordinato essere completo è equivalente
a essere Dedekind-continuo, pertanto è sufficiente ora mostrare che R
così costruito è Dedekind-continuo.
Proposizione 82. R è Dedekind-continuo.
Dimostrazione. (esistenza) Sia (A , B) una sezione di R. Gli elementi di A e
di B sono a loro volta sezioni di Q. Poniamo
A0 = �
(A,B)∈A A B0 = �
(A,B)∈B B
e dimostriamo che (A0, B0) è una sezione di Q (e quindi un numero reale) che
è l’elemento separatore di (A , B).
1. A0 ∪ B0 = Q, infatti se r /∈ B0 esiste una sezione (A, B) ∈ A con r /∈ B,
pertanto r ∈ A e quindi r ∈ A0.
2. A0 ∩ B0 = ∅, infatti se r ∈ A0, r appartiene ad almeno un A e quindi
non appartiene al corrispondente B, perciò r /∈ B0.
3. Siano p ∈ A0 e q ∈ B0; p appartiene ad almeno un A e q a tutti i B.
Allora esiste una sezione (A, B) ∈ A con p ∈ A e q ∈ B per cui p < q.
Quindi (A0, B0) è una sezione di Q e definisce un numero λ ∈ R che è ≥ di
ogni elemento di A0 e ≤ di ogni elemento di B0. Vediamo che λ è l’elemento
separatore di (A , B). Per ogni α ∈ A , α = (A, B), risulta A ⊂ A0 e quindi
α ≤ λ. Sia ora β = (A ′ , B ′ ) ∈ B; poiché ogni elemento di A è < β, risulta
A ⊂ A ′ per ogni (A, B) ∈ A e quindi anche A0 ⊂ A ′ , dunque λ ≤ β.
(unicità) Con la divisione di R nella sezione (A1, A2), è data anche la
divisione di R nella sezione (A1, A2), che è una sezione di Q definita così: A1
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