Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

Si definiscono le operazione nel seguente modo:
• Somma [(m, n)] + [(p, q)] = [(mq + pn, nq)]. (Proprio come si fa il
denominatore comune)
• Prodotto [(m, n)] · [(p, q)] = [(mp, nq)].
• [(1, 1)] è l’elemento unità del prodotto.
• E poi − [(m, n)] = [(−m, n)].
• [(0, 1)] è l’elemento zero della somma.
Si verifica facilmente che tali operazioni sono ben definite. Infine si prova
facilmente che (Q, +, ·, 0, 1) è un campo. Questo procedimento (costruzione
delle frazioni) è ripetibile su ogni anello integro K e in ogni caso si ottiene un
campo QK, il campo dei quozienti su K. Q è il minimo campo che estende
Z, cioè il minimo anello contente Z in cui ax = b ha sempre soluzione, come
vediamo subito:
Proposizione 73. 1. Ogni anello integro K si immerge in QK. (Ossia
esiste un monomorfismo f : K → QK)
2. Tale monomorfismo è unico da Z in Q
3. Ogni campo F in cui K è immergibile contiene QK. (Ossia se esiste un
monomorfismo h : K → F , esiste anche un monomorfismo da QK a
F )
Dimostrazione. 1. Il monomorfismo è f : a ↦−→ a
1 . (Chiaramente è un
omomorfismo iniettivo)
2. È unico nel caso di Z, infatti se g fosse un altro monomorfismo allora
g(1) = g(1·1) = g(1)·g(1) da cui: g(1) = 1. Se n > 0, g(n) = g(1+· · ·+
1) = n
n n
n + · · · + n = 1 = f(n). Inoltre f(0) = g(0) = 0 per definizione di
omomorfismo. Infine, se n < 0, g(n) = g(−(−n)) = −g(−n) = −f(−n)
e quindi f(n) = g(n) per ogni n.
3. Ancora h(1) = h(1 · 1) = h(1) · h(1) e quindi h(1) = 1F , allora anche
h(−1) = −1F . Definiamo f ponendo: f � �
a
b = h(a) · (h(b)) −1 per a, b ∈
K. f è ben definita: se
a
b
a′
=
b ′ ⇔ ab′ = a ′ b ⇔ h(ab ′ ) = h(a ′ b) ⇔
h(a)h(b ′ ) = h(a ′ )h(b) ⇔ h(a)h(b) −1 = h(a ′ )h(b ′ ) −1
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(13.8)