Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

¯c < c, allora ¯c > ai ∀ i ∈ N, ma questo è assurdo. Perciò c = Sup X e quindi
K è completo.
Teorema 101. Ogni campo ordinato archimedeo K è completabile, cioè esiste
un campo � K completo che contiene K.
Un esempio di costruzione del completamento di un campo ordinato archimedeo
sono i metodi di Dedekind e Cantor per costruire � Q = R.
Dimostrazione. � K sarà l’insieme di tutte le semirette sinistre aperte di K. Mostriamo
che in tale insieme si possono definire delle operazioni e un ordine che
lo rendono un campo completo. Notiamo che ogni elemento a di K determina
una semiretta aperta Sa = {x ∈ K : x < a}. Vedremo poi che la funzione
ψ : K → � K
ψ(a) = Sa
è l’immersione di K in � K.
Cominciamo col dare un ordine: poniamo
S ≤ T ⇐⇒ S ⊂ T ∀S, T ∈ K.
Vediamo che l’ordine definito è tale che ogni sottoinsieme X superiormente
limitato di � K ha un estremo superiore, cioè che � K è completo. Sia X =
(Si)i∈I un insieme di semirette superiormente limitato, cioè tale che esiste una
semiretta T ∈ � K con Si ⊆ T ∀i ∈ I. Segue che �
i Si ⊆ T . Poiché questo vale
per ogni semiretta maggiorante, �
i Si sarà l’estremo superiore. Vediamo che
è una semiretta (definizione 83):
i) �
i Si �= ∅ poiché Si �= ∅ ∀i ∈ I e �
i Si �= K poiché �
i Si ⊆ T per qualche T ;
ii) se x ∈ �
i Si allora x ∈ Si ∃i ∈ I e se y < x allora y ∈ Si e quindi y ∈ �
i Si.
Inoltre �
i Si è aperta, cioè non ha massimo; infatti se x ∈ �
i Si allora x ∈
Si ∃i ∈ I e siccome Si è aperta per ipotesi ∃y ∈ Si t.c. x < y quindi y ∈ �
i Si
e x non può essere il massimo.
Introduciamo ora le operazioni che rendono � K campo.
• Somma: per ogni S, T ∈ � K, S + T = {x + y : x ∈ S, y ∈ T }.
È immediato verificare che tale somma gode delle proprietà commutativa
e associativa, valendo esse in K. L’elemento neutro si dimostra
essere ¯0 = {x : x < 0} e si definisce l’opposto (−S) = {x : x <
−y per qualche y non appartenente a S} 3 .
3 Si dimostra facilmente che −S è effettivamente una semiretta e che S + (−S) = ¯0.
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