Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

di ogni ordine n, già aveva intuito l’esistenza di infiniti diversi, in particolare
che il continuo era “ maggiore” del numerabile.
Già nel Dicembre del 1873 riuscì a trovare una dimostrazione che confermava
questa sua intuizione.
Teorema 45. I numeri reali non sono numerabili, cioè non possono essere
posti in biezione con i numeri naturali.
Dimostrazione. Supponendo per assurdo che i reali siano numerabili, ne
segue che possiamo rappresentarli come una successione indicizzata sui numeri
naturali
x1, x2, x3, . . .
Dato un qualunque intervallo (a, b) Cantor mostra che è possibile determinare
un numero reale µ in tale intervallo che non è contenuto nella data sequenza,
quindi si arriva all’assurdo.
Per trovare un tale numero Cantor costruisce due sequenze di numeri reali nel
seguente modo: prendiamo i primi due numeri della sequenza x1, x2, x3, . . .
che appartengono all’intervallo (a, b). Chiamiamo il più piccolo di tali numeri
a1 e l’altro b1.
Allo stesso modo troviamo i primi due numeri della sequenza che appartengono
all’interno dell intervallo (a1, b1). Chiamiamo il più piccolo a2 e il più
grande b2.
Continuando in questo modo si genera un sequenza di intervalli (a1, b1) ⊇
(a2, b2) ⊇ . . . tale che ogni intervallo della sequenza contiene tutti gli intervalli
successivi. Ciò implica che la sequenza a1, a2, a3, . . . è crescente, la sequenza
b1, b2, b3, . . . è decrescente e ogni membro della prima sequenza è minore di
ogni membro della seconda.
Ora si possono verificare due possibilità: il numero di intervalli generati è finito
o infinito.
1) Il numero degli intervalli è finito.
Sia (aN, bN) l’ultimo intervallo. Allora, siccome è l’ultimo intervallo,
vuol dire che al più un xn può appartenere a tale intervallo, ma allora
ogni numero diverso da xn che sta in tale intervallo non è contenuto nella
sequenza data.
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