Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

2 contenuto in B2 è maggiore di b ′
2 ; perciò b′ 2 è il minimo numero di B2,
quindi la sezione (B1, B2) è determinata dal numero β = b ′
2 = a′ 1 = α.
Le due sezioni non sono essenzialmente diverse perché sono determinate
dallo stesso numero α = β però nella sezione (A1, A2) α è il massimo di
A1, mentre nella sezione (B1, B2) β è il minimo di B2.
3) A1 e B1 sono essenzialmente diverse, quando ci sono almeno due numeri
diversi di A1, a ′
1
e a′′
1 , che non sono contenuti in B1, ma sono contenuti
in B2; quindi avremo a ′
1 = b′ 2 e a′′ 1 = b′′ 2 . Però sappiamo che tra due
numeri diversi ce ne sono infiniti, quindi ci saranno infiniti numeri compresi
tra a ′
1 e a′′ 1 che non sono contenuti in B1. In questo caso le due
sezioni (A1, A2) e (B1, B2) sono essenzialmente diverse e anche i numeri
corrispondenti α e β sono diversi; in particolare se B1 ⊂ A1 diremo che
α > β, o β < α. Si osservi che sarebbe potuto essere anche il viceversa,
cioè α < β nel caso in cui in A1 ⊂ B1.
Possiamo dunque definire numero reale una sezione (A, B) di razionali
e R diventa l’insieme di tutte le sezioni, che risulta ben ordinato per quanto
appena detto. Valgono inoltre le seguenti leggi:
• se α > β e β > γ ⇒ α > γ;
• se α �= β ⇒ esistono infiniti numeri tra α e β;
• dato un numero α, tutti i numeri di R si dividono in due sezioni A1 e
A2;
È però necessario definire su R delle operazioni e verificare che R sia un campo
completo ben ordinato.
• Somma: se α = (A, B) e β = (C, D) allora
α + β := (A + C, B + D)
dove H + K = {q ∈ Q : q = h + k , h ∈ H , k ∈ K}. L’elemento neutro
è la sezione definita dal numero razionale 0 e l’opposto di α = (A, B) è
−α = (−B, −A).
• Prodotto: se α = (A, B) e β = (C, D) sono positivi, cioè tutti i numeri
in B e in D sono positivi, allora
α · β := (Q\BD, BD)
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