Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

e a partire da P (ω) gli ordinali transfiniti:
P (ω) , P (ω+1) , P (ω+2) , ...
↓ ↓ ↓
ω ω + 1 ω + 2, ...
Per la prima volta, i numeri sono così considerati come entità astratte, diverse
dagli insiemi di cui esprimono la potenza o il tipo d’ordine, dove per insieme si
intende un raggruppamento di certi distinti oggetti della nostra opinione e del
nostro pensiero, i quali vengono chiamati gli elementi dell’insieme. Notiamo
come questa definizione non è precisa, ma anzi lascia ampi margini all’interpretazione.
L’importante era che l’insieme fosse ben definito, mentre non era
così importante se un oggetto appartenesse o no all’insieme considerato o se
due oggetti fossero uguali. Ad esempio, la definizione ’l’insieme degli uomini
belli’ non è valida, mentre ‘l’insieme degli uomini con meno di un milione di
capelli sulla testa’ si, perché anche se è molto difficile stabilire se un uomo appartiene
o meno a questo insieme, tuttavia, per il principio del terzo escluso,
o un uomo vi appartiene oppure no.
L’introduzione dei nuovi numeri appare per Cantor di grande significato per
lo sviluppo e l’approfondimento del concetto di potenza. In particolare essi
saranno tali che
« per gli insiemi finiti la potenza coincide con il numero ordinale
degli elementi poiché tali insiemi hanno, in ogni disposizione, lo
stesso numero di elementi. Per gli insiemi infiniti non si era sollevata
fino ad ora [...] la questione di attribuire un preciso ordinale
dei loro elementi, ma potrebbe essere attribuita anche a questi una
potenza indipendentemente dalla loro disposizione. »
Nasce così il nuovo concetto di numero ordinale degli elementi di una molteplicità
infinita bene ordinata dove
Definizione 62. Si definisce insieme ben definito un insieme nel quale gli
elementi sono legati fra loro da una data successione della quale è stato dato
convenientemente un primo elemento dell’insieme e quindi ad ogni singolo elemento
ne segue un altro ben preciso(sempre che non sia l’ultimo della successione)
e così anche a qualsiasi insieme di elementi finito o infinito appartiene
un ben preciso elemento che è quello che segue immediatamente tutti gli altri
nella successione (a meno che non si verifichi affatto una successione).
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