Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

“Quando confrontiamo i due grandi teorici dei numeri, Dedekind
e Kronecker, ci accorgiamo che Dedekind pensa in maniera più
concettuale, nel senso dell’odierna algebra astratta e che Kronecker
al contrario attribuisce molto più valore alle esplicite prescrizioni
di calcolo.” (Van der Waerden 1966)
Possiamo pensare come esempio al fatto che Dedekind ha definito il concetto
di corpo in modo assiomatico, mentre Kronecker ha introdotto il concetto di
dominio di razionalità in modo estensionale, definendo la natura degli enti che
formano tale struttura costruendoli in un numero finito di passi a partire da
certi elementi iniziali. Dedekind spingeva verso una assiomatizzazione delle
teorie, mentre Kronecker proponeva metodi costruttivi.
Inizialmente vennero presi in maggiore considerazione i termini di Kronecker,
mentre i matematici del Novecento diedero libero spazio e proseguirono il metodo
di Dedekind. Al giorno d’oggi sembra invece essere ritornata la tendenza
a prediligere metodi costruttivi.
11.4.3 I gruppi
Ricordiamo innanzitutto la definizione di oggi.
Definizione 19. Un gruppo è una struttura algebrica formata da un insieme
G munito di un’operazione binaria ∗ che ad ogni coppia di elementi a, b ∈ G
associa un elemento a∗b appartenente a G e che rispetta le seguenti proprietà:
G1) proprietà associativa: dati a, b, c ∈ G, (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c);
G2) esistenza dell’elemento neutro: esiste in G un elemento e che rispetta
l’operazione ∗, cioè tale che a ∗ e = e ∗ a = a ∀a ∈ G;
G3) esistenza dell’elemento inverso: ad ogni elemento a ∈ G è associato un
elemento b, detto inverso di a, tale che a ∗ b = b ∗ a = e.
Prima del 1870 erano considerati solo due tipi di gruppi, detti:
• gruppi di sostituzione,
• gruppi di trasformazioni geometriche.
La moderna definizione per gruppi abeliani fu data da Kronecker nel 1870. Dopo
quella data la nozione astratta di gruppo si sviluppò grazie agli studi dello
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