Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

1. Formalizzazione: fare in modo che tutte le proposizioni matematiche possano
essere scritte in un preciso linguaggio formale e manipolate secondo
regole ben definite.
2. Completezza: mostrare che tutte le proposizioni matematiche vere sono
anche dimostrabili.
3. Consistenza: far vedere che non è possibile derivare una contraddizione
all’interno della matematica formalizzata come sopra.
4. Decidibilità: deve esistere un algoritmo che decida la verità o falsità di
ogni proposizione matematica.
Il merito principale di Hilbert fu suggerire un nuovo metodo per la formalizzazione
della matematica, che avrebbe secondo lui reso agevole anche la
dimostrazione della consistenza. In un certo senso l’idea di fondo di questo
metodo è già presente nel significato della parola consistenza com’è intesa oggi
dai matematici, ovvero che non si possa dedurre alcuna contraddizione dagli
assiomi. Per dimostrare la consistenza in modo diretto quindi, si dovrebbe
dimostrare una proposizione sulla teoria stessa e in particolare su tutte le possibili
dimostrazioni di teoremi nella teoria in oggetto. La teoria matematica
per cui si spera di provare la consistenza diventa allora essa stessa oggetto di
uno studio matematico, che Hilbert chiama metamatematica. Come si realizza
questa idea? Il risultato dell’attività dei matematici s’incarna in proposizioni,
nella fattispecie quelle della teoria in oggetto. Anche se non è possibile scriverle
tutte, dev’essere possibile conoscere le condizioni che determinano se una
data proposizione è vera o meno. La proposta di Hilbert si basa sul metodo
assiomatico. Come primo passo, le proposizioni devono essere disposte secondo
una “gerarchia” deduttiva, indicando alcune di esse come assiomi. Questo
passo non è concluso finché tutte le proprietà dei termini tecnici che abbiano
qualche rilevanza dal punto di vista deduttivo non sono chiarite in modo tale
che si possa ricavare deduzioni trattandoli come se non avessero alcun significato
“intrinseco”. Infatti se avessero un significato necessario alla deduzione di
teoremi allora non avremmo espresso tutte le loro proprietà tramite assiomi.
Fino a che punto continuare questo processo di assiomatizzazione è arbitrario
quanto la distinzione fra termini “tecnici” e non. Il passo successivo è quello
di indicare i modi di inferenza, esplicitandoli come regole o come nuovi assiomi
nella teoria stessa. Pertanto sarà possibile stabilire se una data sequenza
finita di proposizioni sia o meno la dimostrazione di un certo teorema. Dato
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