Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

nessun punto, e quindi a rigore nemmeno esiste in quanto insieme. Per dare
anche qui un esempio: un insieme di punti di primo genere e n-esima specie è
caratterizzato dal fatto che
P (n+1) ≡ O
mentre P (n) è diverso da O.
Due insiemi sono connessi dal loro massimo comun divisore, e quando quest’ultimo
è ≡ O sono senza connessione. Se due insiemi di punti P e Q hanno
uguale potenza e quindi appartengono a una stessa classe diciamo che sono
equivalenti ed esprimiamo questa relazione con la formula
P ∼ Q
Se abbiamo P ∼ Q e Q ∼ R, è sempre anche
P ∼ R
Se inoltre P1, P2, P3, ... è una successione di insiemi a due a due senza connessione,
Q1, Q2, Q3, ... è un’altra successione dello stesso tipo e valgono P1 ∼
Q1, P2 ∼ Q2, P3 ∼ Q3, ... sarà anche
{P1, P2, P3, ...} ∼ {Q1, Q2, Q3, ...}.
Gli insiemi di punti di primo genere sono, come abbiamo visto poco sopra,
completamente caratterizzabili per mezzo del concetto di derivata, così come è
stato sviluppato finora; tale concetto è invece insufficiente per quelli di secondo
genere, ed è ormai necessario un suo ampliamento che si presenta quasi da sé
a una riflessione più profonda.
Osserviamo che ogni membro della successione delle derivate P ′ , P ′′ , P ′′′ , ... di
un insieme P è un divisore del precedente, per cui ogni nuova derivata P (ν)
si forma dalla precedente P (ν−1) grazie all’eliminazione di certi punti e senza
che se ne aggiungano di nuovi.
Se P appartiene al secondo genere, P ′ sarà composto di due insiemi di punti
Q e R essenzialmente diversi; avremo cioè
P ≡ {Q, R}
dove Q è formato da quei punti di P ′ che vanno perduti se si avanza a sufficienza
lungo la successione P ′ , P ′′ , P ′′′ , ..., mentre R comprende i punti che
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