Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

In realtà Euclide utilizza esattamente la stessa costruzione in XII, 2 esprimendo
soltanto la conclusione in modo diverso, egli dice che se il procedimento
viene ripetuto abbastanza a lungo, le parti rimaste misureranno, insieme, meno
di ogni data area. La soluzione proposta da Antifonte è interessante perché
richiama il concetto moderno di limite; la sua procedura si può riesprimere: il
cerchio è il ’limite’ di un certo poligono inscritto quando il suo numero di lati
viene aumentato all’infinito.
La quadratrice di Ippia di Elide e la quadratura del cerchio
Ad Ippia di Elide (443-399 a.C.) si attribuisce l’introduzione nella matematica
della prima curva oltre al cerchio e alla retta: la quadratrice (oppure
trisettrice) di Ippia; con questa curva, che sottolineiamo non è possibile tracciare
con riga e compasso, si riesce a quadrare il cerchio ed a trisecare un
angolo. Vediamo innanzitutto come si costruisce questa curva. Sia ABCD un
quadrato, e l’arco BD un quarto del cerchio di centro A.
Supponiamo che un raggio di questo cerchio si muova
uniformemente dalla posizione AB alla posizione
AD e che, contemporaneamente, il lato BC si muova
uniformemente dalla posizione BC alla posizione
AD, rimanendo parallelo alla posizione iniziale, con
l’estremo B che si muove lungo BA. Allora nella loro
posizione finale, il segmento e il raggio che si muovono,
coincidono entrambe con AD e ad ogni precedente
istante durante il moto, la loro intersezione determina
un punto, come F o L.
Il luogo geometrico descritto da questi punti è proprio la quadratrice (nella
seguente figura è rappresentata dalla curva passante per B, F , L e G). La
proprietà di questa curva è che:
BAD ˆ : EAD ˆ = arc(BD) : arc(ED) = AB : F H.
L’applicazione della quadratrice per la quadratura del cerchio è più complessa
rispetto alla trisezione dell’angolo, la dimostrazione che riportiamo di
seguito è probabilmente dovuta in parte a Dinostrato (390-320 a.C.). Pare
infatti che questa curva sia stata inventata da Ippia di Elide con il proposito
di quadrare il cerchio ma che non sia stato lui a fornire una dimostrazione.
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