Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

irrazionali dell’intervallo (0, 1), e poniamo
e1 = (α1,1, α1,2, ..., α1,ν, ...)
.
eµ = (αµ,1, αµ,2, ..., αµ,ν, ...) (12.11)
.
en = (αn,1, αn,2, ..., αn,ν, ...)
Questi n numeri irrazionali ne determinano univocamente un (n + 1)-esimo
se
d = (β1, β2, ..., βν, ...) (12.12)
β (ν−1)n+µ = αµ, ν
(12.13)
con µ = 1, 2, ..., n e ν = 1, 2, ....
Viceversa, dato un numero irrazionale d > 0, < 1, esso determina la successione
dei βν e attraverso (12.13) anche quella degli αµ, ν. In altre parole, d
determina univocamente il sistema degli n numeri irrazionali e1, e2, . . . , en.
Da questa osservazione si ricava immediatamente il seguente
Teorema 50. (C) Se e1, e2, . . . , en sono n grandezze variabili reciprocamente
indipendenti ognuna delle quali può prendere tutti i valori irrazionali dell’intervallo
(0, 1) e d è un’altra variabile con lo stesso ambito di variazione, è possibile
associare l’una all’altro in modo univoco e completo la singola grandezza
d e il sistema delle n grandezze e1, e2, . . . , en.
Con il ragionamento fatto sopra abbiamo dimostrato implicitamente anche
il teorema (C). Ora dobbiamo preoccuparci di provare il seguente:
Teorema 51. (D) Una grandezza variabile e che possa assumere tutti i valori
irrazionali dell’intervallo (0, 1) è associabile univocamente a una variabile x
che ammetta tutti i valori reali, cioè razionali e irrazionali, compresi fra 0 e
1 in modo tale che ad ogni valore irrazionale > 0, < 1 di e corrisponda uno
e un solo valore reale ≥ 0 e ≤ 1 di x e a ogni valore reale di x corrisponda,
viceversa, un certo valore irrazionale di e.
Supponiamo, una volta dimostrato questo teorema (D), che in base ad esso
alle n + 1 grandezze variabili indicate precedentemente con e1, e2, . . . , en e d
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