Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

possibilità da parte della materia di subire un cambiamento, ad esempio il
legno può diventare sedia. L’atto, invece, indicava l’esistenza stessa dell’oggetto,
ossia la cosa nella sua presenza attuale e concreta, ad esempio la sedia
su cui adesso sono seduto. Secondo gli aristotelici l’infinito esisteva solo in potenza,
non in atto. Prendiamo ad esempio l’insieme dei poligoni iscritti nella
circonferenza:
Questo è evidentemente un insieme illimitato, nel senso che per ogni poligono
con un numero arbitrariamente grande di lati, esiste un poligono successivo
con lati ancora più piccoli che a sua volta non coinciderà con la circonferenza
ma ammetterà dopo di sè un ulteriore poligono: è proprio la definizione di
Aristotele, l’infinito è qualcosa al di là del quale si trova sempre qualcos’altro.
Allo stesso modo in cui l’apeiron, l’illimitato, non ammette alcun termine finale,
ma solo un infinito sviluppo, l’insieme dei poligoni non può comprendere
un termine conclusivo che coincida con la circonferenza.
Teeteto (V secolo a.C.) fu forse il primo matematico a caratterizzare i
numeri naturali. Egli stabilì che, a partire dall’uno, ogni numero ha un unico
successore e che ogni successore è ancora un numero. Queste due proprietà
sono oggi note come il secondo e il quinto assioma di Peano. Inoltre sapeva
che questa serie è infinita e che tutti i numeri sono compresi in questa serie.
Il processo di contare è un altro esempio di infinito in potenza, non sarà mai
possibile vederlo come processo in atto; lo stesso Aristotele scriveva “Il numero
è infinito in potenza, ma non in atto”. Euclide riuscì a dimostrare che anche
il sottoinsieme dei numeri naturali formato dai numeri primi è infinito ed
Eratostene fornì un metodo per trovarli tutti.
I Greci continuarono comunque a rifiutare l’idea di un infinito in atto e a
collegare all’infinito un’idea di imperfezione.
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