Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

Infatti passando dal segmento circolare di base AB alla coppia di segmenti
circolari congruenti di base AC e CB, abbiamo ‘tolto’ dal segmento circolare
inizialmente considerato il triangolo isoscele ABC; la parte tolta è dunque
maggiore della metà del segmento circolare di base AB, essendo il triangolo
ABC la metà del rettangolo ABED, il quale a sua volta è maggiore del segmento
circolare di base AB inizialmente considerato.
Pertanto, in base alla proprietà di esaustione, è possibile ridurre tali aree fino
a scrivere, con riferimento alla grandezza a − a ′ precedentemente introdotta:
In base alla proposizione XII.1:
da cui ricordando che a′
A
a − pn < a − a ′ ⇒ pn > a ′
pn
Pn
= d2
D 2 segue:
= d2
D 2
a ′
pn
=
A Pn
Se, come sopra provato, pn > a ′ , risulta infine: Pn > A.
Ma ciò è assurdo, non potendo essere l’area di un poligono inscritto in un
cerchio maggiore dell’area del cerchio stesso.
Pertanto è escluso che sia: a
A
> d2
D 2 .
In modo analogo giungiamo ad escludere anche la possibilità che sia: a
A
Quindi: a d2
A = D2 .
< d2
D 2 .
Questo metodo viene usato per dimostrare anche altri teoremi critici, come
le proposizioni riguardanti le piramidi, i coni, i cilindri e le sfere.
Libro XIII
Il libro XIII, infine, considera le proprietà dei poligoni regolari, e il problema
di come inscrivere i solidi regolari in una sfera, ossia di trovare il rapporto
tra il lato del solido inscritto e il raggio della sfera circoscritta. Gran parte di
questo libro si deve probabilmente a Teeteto (vissuto tra il terzo e il quarto
secolo a.C.).
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