Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

lui, non erano in grado di spiegare la natura degli oggetti primari della loro
scienza, come ad esempio i numeri naturali, e dunque non erano in grado di
spiegare le basi stesse della disciplina che insegnavano. Porre rimedio a tale
mancanza, esplicitando in modo chiaro e rigoroso i fondamenti logici e filosofici
della matematica, fu lo scopo cui consacrò l’esistenza. A questo obiettivo
dedicò, tra i trenta ed i sessant’anni, una serie di pubblicazioni.
La Prima di esse fu un breve libro uscito nel 1879 con il titolo di Begriffschrift,
che in italiano è stato reso con Ideografia: ovvero scrittura (o grafia,
schrift) dei concetti (o idee, Begriff ). La “scrittura delle idee” alla quale si
fa riferimento nel titolo è un nuovo simbolismo capace di rendere evidenti relazioni
logiche che il linguaggio ordinario occulta. Il sistema di calcolo qui
proposto costituiva una novità decisiva per la storia della logica.
L’ideografia di Frege contiene la prima formulazione del calcolo proposizionale;
questo è presentato in una forma assiomatica, nella quale tutte le leggi
della logica sono presentate da un certo numero di principi primitivi, mediante
un metodo deduttivo esplicitamente specificato. Il simbolismo fregeiano, sebbene
elegante, non è più in uso; ma le operazione che esso esprime continuano
ad essere alla base della logica matematica.
Il maggior contributo di Frege alla logica fu l’elaborazione della sua teoria
della quantificazione: un metodo per dare forma rigorosa a quelle inferenze la
cui validità dipende da espressioni come “tutti”, “qualche”, “nessuno”. Utilizzando
un nuovo sistema di notazione per la quantificazione, nell’Ideografia
presentò un calcolo originale adatto a formalizzare tali inferenze (un “calcolo
funzionale” o “calcolo dei predicati” come sarebbe stato chiamato in seguito).
Questo gettò le basi per tutti gli sviluppi successivi in logica, e consentì di formalizzare
la teoria della deduzione in modo più rigoroso e generale di quanto
non facesse la tradizionale sillogistica aristotelica, giudicata fino al tempo di
Kant l’alfa e l’omega della logica.
Nell’Ideografia Frege non era interessato alla logica in sé e per sé. Né
il suo obiettivo era semplicemente di mostrare che la logica ammetteva un
trattamento matematico; egli intendeva mostrare piuttosto che logica e matematica
erano molto più intimamente correlate di quanto si fosse fino ad allora
compreso.
Frege concordava con Kant contro Mill sul fatto che le conoscenze matematiche
fossero a priori. Ma per lui le verità dell’aritmetica non erano affatto
sintetiche; a suo giudizio esse non contenevano alcuna informazione che non
fosse già implicita nella natura stessa del pensiero. A differenza della geome-
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