Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

16.2 Hilbert ed i Fondamenti
Il metodo assiomatico era noto ed usato fin dall’antichità. Data una teoria
informale, esso consiste sostanzialmente nell’indicare un insieme di proposizioni
iniziali procedendo dalle quali, con l’utilizzo di certe regole di inferenza, si
possono ottenere tutte le proposizioni della teoria. Per citare Hilbert:
“Ogni scienza ha come punto di partenza un corpo di fatti
sufficientemente coerenti. Essa prende forma, tuttavia, solo organizzando
tale corpo di fatti. Questa organizzazione ha luogo attraverso
il metodo assiomatico, ovvero si costruisce una struttura
logica di concetti in modo tale che le relazioni tra concetti corrispondano
alle relazioni tra i fatti da organizzare. C’è arbitrarietà
nella costruzione di una tale struttura di concetti; noi, comunque,
ne richiediamo: 1) completezza, 2) indipendenza, 3) consistenza.
[8]”
Questo punto di vista è però già moderno. In passato i concetti di verità e
dimostrabilità erano in qualche modo mescolati. L’intenzione di Euclide era
quella di enunciare un numero finito di proposizioni vere da cui dedurre tutti
i risultati di geometria piana che gli erano noti. In particolare, pose alla
base della geometria piana cinque postulati e altrettanti principi comuni (e.g.
Il tutto è più grande di ogni sua parte). Questa concezione fu però messa
in crisi nel XIX secolo, quando alcuni matematici (tra cui citiamo Lobachevsky,
Bolyai, Gauss e Beltrami) si accorsero che negando il quinto postulato
si otteneva una geometria perfettamente consistente semplicemente modificando
l’interpretazione dei termini “punto”, “retta” e “piano”. Poggiandosi
su questi lavori, Hilbert, nel 1898, gettò nuove fondamenta per la geometria
Euclidea, enunciando venti assiomi suddivisi in cinque gruppi (in realtà ne
enunciò ventuno, ma uno fu dimostrato essere ridondante). Ci furono altre
assiomatizzazioni della geometria Euclidea successive (Tarski, Birkhoff) ma
quella di Hilbert rappresentò uno dei primi paradigmi del metodo assiomatico
moderno 1 , avendo avuto il merito di evidenziare come le interpretazioni date
da Euclide di punto, retta e piano non fossero strettamente necessarie per
fare della matematica consistente e assumessero importanza solo in base agli
assiomi che venivano scelti. Dunque, secondo questo nuovo punto di vista, gli
assiomi non sono più da intendersi come verità autoevidenti e la matematica
1 non il primo però: fu anticipato, ad esempio, da Peano nel 1889 per l’aritmetica
560