Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

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“Piero” dalla funzione “( ) è bello” è un valore di verità. Le funzioni che associano a degli argomenti un valore di verità sono dette da Frege concetti. Consideriamo nuovamente l’enunciato: (A) Piero ama Maria. Secondo la proposta fregeiana, (A) può essere analizzato in tre modi diversi: (A’) “( ) ama Maria”; (A”) “Piero ama ( )”; (A”’) “( ) ama ( )”. Nella scomposizione (A”’) abbiamo ottenuto il predicato “( ) ama ( )” elidendo entrambi gli argomenti “Piero” e “Maria”, ottenendo così un predicato a due posti, ossia un predicato relazionale. Grazie all’uso della nozione di relazione, Frege riesce così a ovviare anche al secondo problema della logica aristotelica, quello cioè di non riuscire a rendere conto degli enunciati relazionali. L’ulteriore innovazione fregeiana che intendo esporre sta nell’introduzione dei quantificatori che permettono di specificare se le variabili che vengono utilizzate vanno riferite a tutti gli elementi di una classe(∀) o solo ad alcuni(∃). L’introduzione dei quantificatori è la concezione dei termini come “tutti” e “qualche” come espressioni funzionali di ordine superiore. Una espressione che in logica aristotelica costituisce un singolo enunciato (“tutti gli uomini sono mortali”) diventa in Frege una connessione di due funzioni proposizionali: ∀(x)(uomo(x) → mortale(x)) [la formula si legge “per ogni x, se x è un uomo allora x è mortale”]. La soluzione è analoga a quella degli stoici (che proponevano “se qualcosa è un uomo, allora è mortale”), con l’aggiunta dell’idea di “variabile” presa dalla matematica: il quantificatore universale ∀ vincola la variabile x per cui tutto ciò che segue al quantificatore dipende dal raggio di azione di quest’ultimo. L’altro quantificatore ∃, col significato di “esiste almeno un” si può definire nei termini di quello universale e del connettivo di negazione: “esiste almeno un x tale che...” equivale a “non tutti gli x non hanno...”. 588
L’uso dei quantificatori ha permesso di evitare una serie di errori logici, resi possibili precedentemente dalla confusione che il linguaggio naturale genera, nascondendo la vera struttura del pensiero. Per esempio senza ricorso ai quantificatori, la proposizione “ogni ragazzo ama una qualche ragazza”’ può significare due cose molto diverse: 1. che tutti i ragazzi del mondo amano la stessa ragazza 2. che ogni ragazzo ama una qualche ragazza (diversa per ogni diverso ragazzo) Il linguaggio L’intento di Frege non era quello di rappresentare una logica astratta in formule, ma di esprimere un contenuto attraverso segni scritti in modo più preciso e chiaro di quanto non fosse possibile con il linguaggio comune. L’effetto che vuole raggiungere è quello di creare una lingua characteria destinata alla matematica e non un semplice calculus limitato alla sola logica, come aveva fatto Boole. Oltre al problema di trovare un linguaggio adatto si pone il problema (collegato al precedente) di trovare le regole di deduzione giuste per poter affrontare le varie dimostrazioni. L’idea geniale di Frege a questo riguardo è, diversamente da quello che aveva fatto Boole, la costruzione delle proposizioni mediante l’uso degli stessi simboli usati per il calcolo. Pone quindi la logica delle proposizioni sullo stesso piano di quella dei termini attraverso la distinzione tra proposizione e funzione proposizionale 2 . Secondo Frege la struttura grafica delle proposizioni e del calcolo deve riflettere la forma logica di questi. La soluzione di Frege consiste, in termini moderni, nella costruzione di un linguaggio al primo ordine con identità per la struttura assiomatica del calcolo. Per quanto riguarda il calcolo Frege si basa su nove assiomi e la regola del modus ponens. Gli assiomi sono i seguenti: • ⊢ p → (q → p) 2 Una funzione proposizionale è una proposizione nella quale occorrono variabili libere. Ad esempio “Socrate è un uomo” è una proposizione, mentre “x è un uomo” è una funzione proposizionale. 589
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Università degli studi di Padova a
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2.2.4 Sistema di numerazione . . .
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5 Euclide 159 5.1 Contesto storico
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9.2.5 Isaac Barrow . . . . . . . .
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13.2.2 I razionali . . . . . . . .
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19 Kurt Gödel 647 19.1 La vita . .
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1.2 L’aritmetica 1.2.1 Contare Co
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Figura 1.2: Il sistema di numerazio
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della storia 9 . Il papiro di Ahmes
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sistemi in cui il valore di uno ste
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Figura 1.7: Un’incisione rupestre
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Figura 1.9: I disegni di Nazca: una
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per costruire triangoli rettangoli
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usavano i numeri cardinali e non qu
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Capitolo 2 Le antiche civiltà dell
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te da preoccupazioni di ordine mist
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delle date l’ordine e l’armonia
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almeno nella forma in cui noi la in
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Il quipu non poteva essere usato co
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Prima della seconda metà del XVI s
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La prima fonte scritta giunta fino
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2.2.3 Contatti e scambi con l’Eur
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scientifico, caratteri particolari
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zero si presentò quando le bacchet
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4 9 2 3 5 7 8 1 6 La leggenda, abba
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delle bacchette era analoga a quell
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Applicando la regola di Cramer si h
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egistrato nella prima riga, quella
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Si noti che un trattino diagonale i
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Attualmente scriveremmo questo prob
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Moista 3 , testo che ebbe pochissim
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si trova un’approssimazione sorpr
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terminata, che raggiunse un livello
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tro sottesi da esse, gli autori dei
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(a noi nota come equazione di Pell)
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specifici per indicare 4, 10 e 20;
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numeri che devono essere moltiplica
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“La fune tesa della diagonale di
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Molti secoli dopo, nel XV secolo, u
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2.3.10 Il concetto di infinito Se l
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Capitolo 3 La matematica nella Grec
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certezza se Talete o Pitagora ne ab
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al servizio degli aristocratici. A
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degli aristocratici. Fra queste cit
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a.C.; le due maggiori città greche
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ed ai valori ideali ed eterni, disp
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• l’espansione verso Oriente e
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loro grandi biblioteche non fossero
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o più grandi maestri. Questo fenom
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Figura 3.3: Sistema ionico Poiché
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Mileto rappresentava un grande cent
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Purtroppo Talete non ha scritto nul
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Per quel che riguarda il teorema 4,
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Â≪ ...stupefatto del modo in cui
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Figura 3.7: Calcolo dell’altezza
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un segmento dato un rapporto fissat
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greci; non a caso Platone, uno dei
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studi medici era diffuso proprio ne
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• Gli acusmatici ( dal verbo grec
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proporzione 3 : 2 a indicare una re
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3.6.4 Il numero come principio dell
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del dispari, mentre il male, il dis
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1. E’ dato un numero figurato. Fi
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esempio 11; allora: e quindi Figura
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I pitagorici collegavano la distinz
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Tabella 3.1: Rappresentazione rispe
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Figura 3.21: (a + b) 2 = (a − b)
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di cui una traduzione letteraria è
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e. Le nuove grandezze vennero chiam
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La sfida che i matematici greci si
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Bibliografia [1] Storia della Matem
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Il IV secolo si aprì con la morte
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4.2 Zenone di Elea 4.2.1 Introduzio
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Consideriamo un segmento di estremi
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Qual è la velocità di un punto de
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• Molti, come ad esempio Carl Boy
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linea e della superficie; la sua cr
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1. idee che si riferiscono ai valor
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ca e geometria tra le quattro mater
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- Ogni angolo di un pentagono regol
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4.4 Eudosso Eudosso (408-355 a.C.),
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frazioni, ossia a c b = d se e solo
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E poichè DG è maggiore di AH, se
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4.5 Il concetto di infinito nel pen
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Bibliografia [1] Ivan Niven, Numeri
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nell’ ambito mentale, doveva esse
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giovane dei discepoli di Platone, m
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di qualcosa, e un problema, in cui
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sognerà quindi dedurle da proposiz
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• Nozioni speci che: verità che
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estremi.” Archimede e poi Legendr
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matematici moderni non fanno alcuna
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accettate senza dimostrazione, e ra
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espressi da Euclide, non garantisco
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venivano concepite come segmenti ch
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Viene spesso affermato che l’alge
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a = k 1 1 nb e c = k nd. DEFINIZION
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Siano i numeri piani a = cd e b = e
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matico in sè concluso, risalente p
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si hanno per resto misura la preced
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metodi tradizionali dei matematici
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Infatti passando dal segmento circo
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se a ha la parte aurea x, allora il
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Bibliografia [1] Benno Artmann, Euc
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6.1 Vita e morte Non sono molte le
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matematica antica proseguì le rice
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Archimede. Lo studio della spirale
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come P ZA, la cui somma è minore d
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“l’area di una qualsiasi sfera
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Archimede utilizzò con grande fine
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nell’illustre filosofo. Il primo
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6.3.9 Il libro dei lemmi Quest’op
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interlocutore su alcuni risultati m
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del segmento parabolico: Dato il se
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A causa del parallelismo si ha AC :
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diverse testimonianze di storici no
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Questa volta la testimonianza ci gi
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più semplice per tali specchi è u
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6.6 Considerazioni finali L’opera
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Capitolo 7 I problemi classici 7.1
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Una prima cosa da notare è che il
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di razionalità un insieme di numer
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(x1, y1), (x2, y2), ... (xn−1, yn
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con un numero arbitrario n di lati,
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si osserva che trovare una soluzion
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Dinostrato, servendosi di questa cu
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Sia ABC il triangolo da quadrare. S
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Per trisecare un angolo di π 4 è
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Allora, chiaramente, se lungo ogni
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se n e m non sono entrambi cubi di
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cioè un cubo di spigolo x equivale
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cioè AC : AP = AP : AM = AM : AB,
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Bibliografia [1] T. Heath, A histor
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È aneddoto comune che di fronte al
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8.2 La Matematica di al-Khwārizmī
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Struttura dell’al-jabr. L’opera
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8.2.3 Altri matematici di spicco. A
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8.3.1 I simboli di somma e sottrazi
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L’Italia sembra insensibile a que
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Figura 8.4: Il Teorema di Pitagora
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Capitolo 9 Da Tartaglia a Cauchy: n
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sancito il principio del cuius regi
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Si tratta quindi di risolvere un’
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- Guerra dei trent’anni (1618-164
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• problemi sulla distanza • il
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asate su assiomi arriva a delle cer
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II. Sulla natura delle linee curve
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3. il grado di questa equazione alg
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geometrici Descartes affronta il pr
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di infiniti punti C il cui luogo è
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maniera simile CD spinge DE e così
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trovare la normale ad una curva alg
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punti) e la tangente. Significativo
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Figura 9.4: Bonaventura Francesco C
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Figura 9.5: Pierre de Fermat (1601
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curve algebriche elaborò un metodo
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Figura 9.7: Dimostrazione del Teore
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fondamenti della fisica e dell’as
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Newton condivideva con il suo maest
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Figura 9.9: Gottfried Wilhelm Leibn
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di qui deriva che si debbano in pri
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Leibniz fu uno dei più grandi inve
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9.3.1 Contesto storico e matematico
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Figura 9.10: Jakob Bernoulli (1654
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allora: ∂f d ∂f ϕ + = 0 ∂y d
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Dopo aver definito cos’è una qua
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Figura 9.13: George Berkeley (1685
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tale quantità con una lettera pres
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Capitolo 10 Analisi e Fisica Matema
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predecessori e che era il suo vanto
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Egli era legato infatti al rigore a
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Riemann riuscì a legare molti risu
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10.6 Cenni storici: Fisica Matemati
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si hanno quindi in questo secolo i
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Figura 10.7: Jacobi al neoumanesimo
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un contributo dello stesso livello.
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soluzione nei complessi. Ricordiamo
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campo, magari nemmeno definito accu
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Riportiamo qui sotto una cartina de
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grado superiore al 5 ◦ è la memo
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Lagrange scrisse che Ruffini “non
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aritmetiche ripetute un numero fini
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infanzia. Compiuti gli studi a Gott
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Per semplicità, Gauss restrinse il
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La necessità di una profonda rifor
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con il loro significato originario,
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corpo a quattro dimensioni in cui v
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ij = k, jk = i, ki = j, ji = −k,
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Teorema 15. Ogni algebra divisoria
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le proprietà topologiche della map
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simbolo 1. Nello specifico Boole in
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Boole Oggi Significato + ∪ unione
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“fondiamo la teoria dei numeri co
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“Quando confrontiamo i due grandi
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Gruppi di trasformazioni geometrich
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L’algebra passa da essere studio
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Una relazione ordinale del momento
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dove a è lo step corrispondente al
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E = ϑa + A; E ′ = ϑa + E; E ′
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caso della addizione algebrica, dal
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Solamente il caso che considera lo
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di due dfferenti steps. L’idea de
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Bibliografia [1] Boyer C. B., Stori
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Figura 12.1: G. Cantor qualsiasi co
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12.2 Le opere Presentiamo qui di se
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Nella Theorie de la chaleur [8, (18
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altre serie della stessa forma che
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convergente per tutti i valori di x
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e f(x) = 1 2 a′ +∞ � 0 + n=1
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erne le tappe esula dagli scopi del
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dei numeri naturali. Tutti gli altr
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In seguito concentrò i propri sfor
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di accumulazione dei punti di accum
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12.4 La potenza di un insieme Gli s
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grande dell’insieme infinito di q
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o avranno uguale potenza M e una pa
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Figura 12.2: Numerazione dei razion
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di ogni ordine n, già aveva intuit
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[eindeutige Zuordnung] degli elemen
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a dare una risposta negativa che qu
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voi scrivete costantemente x = α1
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irrazionali dell’intervallo (0, 1
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Se a e b sono due grandezze variabi
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Basiamo la dimostrazione di (F) sul
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Per quanto affermato nel teorema (H
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“...se non si impone nessuna cond
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La biezione da prendere sarà dunqu
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nessun punto, e quindi a rigore nem
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proseguendo nello stesso modo otten
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al proprio interno punti di tale in
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li interi positivi. Io chiamo le mo
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che i punti ad esso appartenenti po
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e dell’autore (Mathem. Annalen, v
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limite inferiore delle distanze q
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un numero finito di intervalli con
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all’interno dell’intervallo (0,
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12.7 L’infinito Le prossime sezio
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concetto, che verrà poi ripreso da
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stesse sostanze create da Lui dal n
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Kroneker che sosteneva che ‘Dio h
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12.8 I numeri ordinali Per capire a
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12.8.1 Costruzione dei numeri ordin
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ma mostrarsi anche mezzo capace di
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di tutti i precedenti. Varrà dunqu
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• Si consideri un insieme ben def
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determinato da un numero di una cla
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ammette sempre e solo una soluzione
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Limitiamoci a considerare i numeri
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12.9 L’ipotesi del continuo In pr
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Bibliografia [1] CANTOR, G., Über
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Capitolo 13 La costruzione dei nume
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y + x = 0, la ricerca delle soluzio
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• [(a, b)] ≥ [(c.d)] ↔ a + d
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Usando ripetutamente il fatto che h
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dell’aritmetica. L’addizione è
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1) dati tre punti p, q, r sulla ret
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Dato un razionale a possiamo costru
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dove HK = {q ∈ Q : q = hk , h ∈
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oppositori. Muore nel 1918. A lui s
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Successioni di Cauchy Definizione 8
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per tali m, n abbiamo che |bm − b
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Siano (an) e (bn) due rappresentant
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• un minorante per A ⊆ X è un
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Dimostrazione. (a) ⇒ (b). Sia K c
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• Prodotto: per ogni S, T ∈ �
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Sia x ∈ i(S + T ), allora ∃s
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Bibliografia [1] Giovanni Sambin, a
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14.2 I paradossi “Il paradosso è
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paiano direttamente non significa c
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14.3 La crisi dei fondamenti della
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I paradossi della teoria di Cantor
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principio di comprensione. Il parad
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Bibliografia [1] Bell, Eric T., I g
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15.2 Il V postulato di Euclide L’
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per lasciare il posto ad un nuovo p
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za di Brouwer è il legame stretto
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dei suoi obiettivi principali era q
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che si manifesta nei casi in cui il
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Bibliografia [1] Bottazzini, Umbert
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Gödel frequentò abbastanza regola
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Su sollecitazione di Menger, egli s
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Scrisse di lui Solomon Feferman: Fi
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Figura 19.3: Metamatematica, aritme
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formule, ricavate una dall’altra
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Si vede chiaramente che non ci sono
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19.3.2 Dimostrazione e Sostituzione
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∀x(¬Dim(x, Sost(n, 31, n))) Ma q
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modo aggiungendo (γP A1) agli assi
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ma che è impossibile farlo usando
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Gödel era un platonista, ma si era
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corrisponde una formula aritmetica
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Bibliografia [1] Paul Bernays, “D
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Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

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