Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

con il loro significato originario, Peacock aveva in mente infatti i numeri naturali.
Un altro esempio è quello del calcolo di a
b : esso è possibile nell’algebra
aritmetica solo se b è un multiplo di a, mentre nell’algebra simbolica questo
calcolo ha significato per qualsiasi valore di a e di b.
Nel 1834 Peacock affermava:
“Nell’algebra aritmetica, le definizioni delle operazioni determinano
le regole; nell’algebra simbolica le regole determinano il significato
delle operazioni, o più propriamente parlando, essi forniscono
i mezzi per interpretarle”.
Egli definì l’algebra simbolica come la
“scienza del ragionamento generale con linguaggio simbolico”
mentre l’algebra in sé la
“scienza dei simboli e delle loro combinazioni, costruite su loro
proprie regole, che possono applicarsi all’aritmetica e a tutte le
altre scienze per interpretazione: in questo modo, l’interpretazione
segue e non precede le operazioni dell’algebra e i loro risultati”.
D’altra parte l’algebra simbolica non aveva una sua base solo nell’algebra aritmetica,
ma anche nella geometria: geometria e aritmetica sono, per Peacock,
science of suggestion per l’algebra astratta, scienze subordinate che suggeriscono
quali operazioni definire sui simboli. Da queste idee formulò il Principio
delle forme equivalenti:
“Se una qualunque forma è algebricamente equivalente a un’altra,
se espressa in simboli generali, deve essere vera qualunque cosa i
simboli denotino. Reciprocamente, se scopriamo una forma equivalente
nell’algebra aritmetica o in una qualunque altra scienza
subordinata, quando i simboli sono generali nella forma ma specifici
nella natura, la stessa deve continuare ad essere una forma
equivalente se i simboli sono generali sia nella natura sia nella
forma”.
Fondamentale era quindi il ruolo dell’aritmetica che, anche se scienza subordinata,
stabiliva le regole di combinazione dei segni per la correttezza dell’algebra
simbolica; senza le regole di combinazione dei segni date dall’aritmetica
nessuna algebra simbolica poteva ritenersi “corretta o filosofica”.
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