Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

4.4 Eudosso
Eudosso (408-355 a.C.), nato a Cnido (sulla costa dell’odierna Turchia),
fu studente di Platone ed è considerato il più famoso matematico e astronomo
della sua epoca, infatti gli sono attribuiti risultati di grande importanza,
fondamentali per il costituirsi della matematica come scienza. Dato che tutti
i suoi lavori sono andati persi, la nostre conoscenze su di lui sono ottenute da
fonti secondarie. Sappiamo che si occupò del problema della duplicazione del
cubo, di numeri interi e che, inoltre, studiò teoria della musica e medicina. A
Cnido costruì un osservatorio astronomico e identificò varie costellazioni.
Eudosso fu senza dubbio il più abile matematico dell’età ellenistica: è probabile
che il valore aristotelico della misura della circonferenza terrestre sia a
lui dovuto (Archimede riferisce che Eudosso aveva calcolato che il diametro
del sole era 9 volte maggiore di quello della Terra). Nel suo schema astronomico
egli era riuscito a descrivere mediante una combinanzione di movimenti
circolari il moto dei pianeti lungo orbite aventi la forma di lemniscata sferica.
Matematicamente parlando, ad Eudosso si attribuisce la sistemazione critica
della teoria delle proporzioni, indipendente dalla commensurabilità delle
grandezze, e il così detto “metodo di esaustione”, che consentì un trattamento
rigoroso del calcolo delle aree e dei volumi. Cerchiamo dunque di inquadrare
questi due problemi nel loro contesto storico e di capire le soluzioni proposte
da Eudosso.
4.4.1 Teoria delle proporzioni
I pitagorici erano profondamente convinti che la realtà fosse esprimibile
in termini di numeri naturali e loro rapporti. Questo era confortato dalle
scoperte in campo musicale e astronomico e, geometricamente, si traduceva nel
fatto che, dati due segmenti qualunque, questi fossero tra loro commensurabili,
ossia o uno è contenuto un numero intero di volte nell’altro oppure esiste un
sottosegmento tale che entrambi i segmenti iniziali siano suoi multipli interi.
La scoperta che il lato e la diagonale di un quadrato non sono due grandezze
commensurabili fece crollare la loro filosofia: i numeri interi e i loro
rapporti non erano più sufficienti a descrivere la natura. Oltre alla fine della
concezione pitagorica del mondo come rapporto questa fu una “scoperta imbarazzante
perchè in numerose dimostrazioni geometriche essi -i Greci- avevano
150