Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

curve algebriche elaborò un metodo molto ingegnoso per individuare i punti
in cui c’è un massimo o un minimo: il metodo consiste nel considerare l’espressione
data nell’incognita x (nostra notazione) e l’espressione stessa in cui
l’incognita è sostituita dalla quantità x + E. Osservò che la differenza tra
queste due espressioni sarà minima in prossimità dei punti di massimo o minimo.
Partendo allora da un’espressione polinomiale, dopo aver uguagliato,
anzi “adeguagliato”, le due espressioni, svolto ed eliminato i termini comuni
si divide per E (o per la potenza minima con cui E compare) l’espressione
rimasta, che avrà termini contenenti E o sue potenze, e infine si eliminano i
termini che contengono ancora E. Dall’equazione così ottenuta si ricava poi il
valore cercato per x. Questo procedimento era molto simile a quello che oggi
viene chiamato differenziazione. Infatti Fermat viene posto tra gli iniziatori
del calcolo differenziale.
Determinazione della tangente ad una curva
13 Anche Fermat come Descartes si occupò della determinazione della tangente
ad una curva ma per far questo utilizzò il metodo dei massimi e dei
minimi. Sia (in notazione moderna) F (x, y) = 0 una generica curva della
quale vogliamo trovare la tangente in (x0, y0); chiamiamo a ed e i rispettivi incrementi
sull’asse delle ascisse e delle ordinate. Allora risulta che a : e = t : y0
dove t è la sottotangente, ossia t = t0 − x0 la distanza fra l’intersezione della
tangente con l’asse delle ascisse e il punto (x0, 0). Allora per quanto detto in
precedenza per trovare t bisogna calcolare
f(a) − f(0)
a
= F (x0 + a, y0 + ay0
t )
= 0
a
porre a = 0 e risolvere in t. Notiamo subito che questo metodo per il calcolo
della retta tangente è più generale del sistema di Descartes, che si fermava alle
curve polinomiali, ma non abbastanza generale per coprire le curve studiate
all’epoca. Infatti può andare per curve come y = √ x + 1, ma il metodo
si arrestava per curve come y = √ x + 1 per la difficoltà che si incontra a
semplificare in a.
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