Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

Gödel era un platonista, ma si era formato all’interno del Circolo di Vienna,
che trattava la matematica come semplice “sintassi del linguaggio” e aveva una
posizione antiplatonista. Perciò, Gödel non espose le sue convinzioni, se non
dopo molti anni.
Ma, nonostante la loro distanza dall’esperienza sensoriale, abbiamo in
qualche modo una percezione anche degli oggetti della teoria degli insiemi,
come pare dal fatto che gli assiomi ci si impongono come veri. Non vedo motivi
per avere meno fiducia in questo tipo di percezione, cioè nell’intuizione
matematica, che nelle percezioni sensoriali che ci inducono a costruire le teorie
fisiche[...]
Si deve fare continuamente appello all’intuizione matematica non solo per ottenere
delle risposte non ambigue alle questioni della teoria transfinita degli
insiemi, ma anche per risolvere problemi della teoria dei numeri finitista (del
tipo della congettura di Goldbach), dove la significatività e non ambiguità dei
concetti che compaiono in essi difficilmente potrebbe essere messa in dubbio.
Questa è una conseguenza del fatto che per ogni sistema assiomatico esistono
infinite proposizioni indecidibili di tale tipo. 14
La congettura di Goldbach dice che ogni numero pari può essere scritto
come somma di due numeri primi. Tale congettura non è mai stata dimostrata,
ma non si è neppure trovato un controesempio e dunque non si è dimostrata
neppure la sua negazione. Eppure si tratta di un’affermazione sensata e che
ha sicuramente un suo valore di verità. Questa affermazione può essere vera o
falsa, indipendentemente dal fatto che lo si sia dimostrato. Dunque la verità
può oltrepassare la dimostrazione.
Se una certa cosa non è dimostrabile all’interno di un sistema, vuol dire
che l’insieme dei suoi assiomi non è sufficiente a dimostrarla.
Ma se anche aggiungessimo dei nuovi assiomi per dimostrare tale proposizione,
avremmo comunque un sistema formale che cade sotto l’influsso del teorema
di Gödel e perciò si potrebbe trovare una nuova affermazione indimostrabile.
Dunque, per quanto si possa ingrandire il sistema con cui si lavora, sarà sempre
impossibile ottenere una descrizione completa della realtà. La matematica,
insomma, non può essere ridotta alla semplice sintassi.
Questa impossibilità di ridurre la matematica a sistemi formali viene affermata
anche da Goldstein:
14 Gödel, Russell’s Mathematical Logic.
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