Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

• ⊢ q → p ∨ q
• ⊢ p ∨ q → q ∨ p
• ⊢ p ∨ (q ∨ r) → q ∨ (p ∨ r)
• ⊢ (q → r) → (p ∨ q → p ∨ r)
L’unica regola assunta è il modus ponens.
Successivamente la teoria delle proposizioni elementari verrà estesa, usando
i quantificatori, alla logica del primo ordine e poi a quella del secondo ordine.
17.4.4 Critiche e risposte
Una prima critica al sistema logico dei Principia è la seguente:
data la definizione di A → B come falsa se e solo se A vera e B falsa, allora
date due proposizioni A e B qualunque, si ottiene che vale almeno una delle
due
A → B
e
B → A 5
Una risposta di Russell a questa critica è la seguente. Russell dice che un
legame formale tra A e B non può dipendere solo dal valore di verità, ma deve
anche tener conto dei possibili contesti nei quali assumono valori di verità.
Russell distingue in effetti l’implicazione in due: l’implicazione formale e
quella materiale.
formale del tipo ∀x1,...,∀xn(K → A)
materiale del tipo A → B che coinvolge solo enunciati le cui variabili non
sono quantificate universalmente.
A implica formalmente B significa asserire che tutte le verità di tutte le
implicazioni materiali facendo variare le variabili in tutto l’universo.
Un’altra critica che viene mossa al sistema russelliano è la moltiplicazione
di concetti base come identità, numero naturale, ecc. a causa della tipizzazione
e della ramificazione.
5 In realtà questo vale in ogni sistema logico di tipo classico.
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