Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

Poichè ogni numero irrazionale a può essere definito tramite la successione
costante, che è fondamentale, {a}, ne segue che ogni successione fondamentale
ha una e soltanto una delle tre relazioni con un numero razionale.
Grazie alle assunzioni fatte sopra è possibile estendere le operazioni elementari
eseguite sui numeri razionali ai due domini A e B presi insieme. Per
l’esattezza, se b, b ′ e b ′′ sono tre grandezze numeriche di B, le formule
b + b ′ = b ′′ , bb ′ = b ′′ , b
= b′′
b ′
esprimono il fatto che fra le successioni
a1, a2, ...
a ′ 1, a ′ 2, ...
a ′′
1, a ′′
2, ...
corrispondenti ai numeri b, b ′ , b ′′ sussistono rispettivamente le relazioni
lim(an + a ′ n − a ′′ n) = 0;
lim(ana ′ n − a ′′ n) = 0;
lim( an
a ′ − a
n
′′ n) = 0;
(12.7)
Prima di proseguire nello studio degli elementi del dominio B, è importante
far notare che, presi due elementi b, b ′ ∈ B, scrivere b = b ′ non significa
identificare questi due elementi tra loro ed associarli ad uno stesso valore
ma significa solamente che sussiste una particolare relazione tra le successioni
fondamentali che li definiscono. Lo stesso Cantor, infatti, scrive:
“...il fare uguali due grandezze b e b ′ di B non comporta la loro identità ma
esprime soltanto una determinata relazione fra le successioni alle quali esse
sono determinate”.
A questo punto Cantor abbandonò l’uso del termine “ simbolo” per indicare
gli elementi di B ed usò invece il termine “Zahlengrossen” (numero).
Tuttavia rimaneva un problema relativo alla natura degli elementi del dominio
B. Egli infatti sosteneva che tali elementi erano insignificanti in se stessi
ed aveva creato una teoria “nella quale i numeri, mancanti di generale oggettività
in se stessi, appaiono solo come componenti di teoremi che hanno
oggettività”. Sostanzialmente un elemento b ∈ B rappresentava soltanto una
sequenza fondamentale.
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