Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

Figura 3.24: Dimostrazione di sir George Airy
Conseguenza diretta di questa concezione materiale del punto è che, considerati
due qualsiasi segmenti, essi erano sempre commensurabili.
Infatti, ogni segmento risultava costituito da un numero finito di punti
(granellini), tutti eguali fra di loro, per cui se un segmento era, ad esempio,
doppio o triplo di un altro, ciò significava che era formato da un numero
doppio o triplo di punti rispetto all’altro. Così stando le cose, è evidente
che due qualsiasi segmenti dovevano avere sempre come sottomultiplo comune
almeno, nel caso più sfavorevole, il punto.
Quindi il quoziente tra il numero dei punti che formava il primo segmento
e il numero dei punti del secondo esprimeva il rapporto, in tal modo sempre
razionale, tra i due segmenti.
Nonostante il loro motto fosse Tutto è numero, i pitagorici scoprirono l’esistenza
di grandezze, radicalmente diverse dai numeri ordinari. Considerato
il quadrato, la lunghezza della sua diagonale non si può esprimere come multiplo
della lunghezza del lato, e nemmeno come sua frazione di numeri interi.
Cioè, il lato e la diagonale sono incommensurabili. Nella scheda sotto riportata,
descriviamo il ragionamento che dimostra questo fatto, come riportato
da Aristotele, ragionamento che porta alla dimostrazione che nessuna frazione
può rappresentare la relazione esistente tra la diagonale e il lato di un quadrato,
e quindi questa relazione è irrazionale, per usare un termine moderno. Il
termine greco originale è più acuto. La parola greca per frazione è logos, che
significa parola, calcolo, conto, e proviene da una radice che significa raccoglie-
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