Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

plo di n!. Attualmente questo risultato si trova sotto il nome di Teorema di
Lagrange:
Teorema 11. In un gruppo finito l’ordine di un sottogruppo divide l’ordine
del gruppo
11.2.3 Il teorema di Abel-Ruffini
Ruffini
Nel 1799 a Bologna uscì un volume dal titolo Teoria generale delle equazioni,
in cui si dimostra impossibile la soluzione algebrica delle equazioni generali
di grado superiore al quarto. Ne era autore il filosofo, medico chirurgo e matematico
di Modena, Paolo Ruffini (1765-1822).
Ruffini si ispirò al lavolo precedentemente svolto da Lagrange e nella prefazione
al libro scrisse:
“La soluzione algebraica delle equazioni generali di grado superiore
al quarto è sempre impossibile. Ecco un teorema troppo importante
nelle Matematiche, che io credo, se pur non erro, di poter
asserire, e di cui la dimostrazione [...] l’immortale de la Grange
ha somministrato” il fondamento. “Conveniva dunque premettere
a questa, per la maggior sua intelligenza, un ristretto di simili
riflessioni”.
Nella dimostrazione Ruffini fece uso delle sue ricerche sul gruppo di sostituzione
su n lettere -la cui nozione esplicita non si trova in Ruffini, ma si dovrà
attendere Galois-, in particolare utilizzò il teorema per cui non esiste una funzione
di cinque elementi che assuma, per ogni loro permutazione possibile, solo
otto, quattro o tre valori distinti. In termini moderni:
Teorema 12. Il gruppo totale delle sostituzioni su 5 lettere non possiede
sottogruppi di indice 8, 4 o 3.
In mancanza di un chiaro concetto di gruppo, per stabilire questo risultato
Ruffini era costretto ad elencare tutte le 120 = 5! permutazioni distinte ed
esaminarne i vari casi possibili.
Nonostante l’importanza del risultato di Ruffini sull’impossibilità di risolvere
per radicali le equazioni di grado superiore o uguale a 5, il matematico italiano
incontrò scetticismo e diffidenza da parte dei colleghi europei. Lo stesso
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