Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

Ogni step c può essere considerato come multiplo di un sottomultiplo di un
altro step b, se c e b sono tra loro commensurabili, ossia se sono multipli di
una base comune; l’atto di passaggio è la composizione, nell’ordine, di una
sottomoltiplicazione con una moltiplicazione.
Un numero frazionario è dunque determinato sempre da due numeri interi, che
sono il numero che sottomoltiplica, denominatore, e il numero che moltiplica,
numeratore, che rappresentano i due atti successivi che compogno l’atto di
frazionamento.
Secondo i concetti introdotti, lo step c è una frazione di b, legato a b dalla
relazione in rapporto ν
µ , chiamato rapporto di ν su µ. Come c è generato dall’atto
di frazionamento moltiplicando b per il numero frazionario ν
µ , è possibile
ritornare a b da c mediante l’atto di frazionamento inverso, o reciproco:
e vale
b = µ
ν
b = µ
ν
ν
× c se c =
µ × b
ν
× (
µ × b) e c = ν
µ × (µ × c)
ν
Così i due numeri µ ν
ν e µ sono atti reciproci, chiamati quindi numeri frazionari
reciproci tra loro, o frazioni reciproche.
In modo analogo ai numeri interi riportiamo di seguito le operazioni concesse
con le frazioni così definite:
( ν′
µ ′ × b) + ( ν
µ × b) = ( ν′
µ ′ + ν
µ ) × b
ν ′
µ ′ × ( ν
µ × b) = ( ν′
µ ′ × ν
µ ) × b
Da tali leggi riconosciamo le operazioni tra i numeri frazionari di addizione e
moltipliazione.
In generale, il concetto di frazione come multiplo di un sottomultiplo non
esclude di pensare che il numero che moltiplica (numeratore) sia uguale zero;
in tal caso se il denominatore è diverso da zero, la frazione è uguale a zero:
0
µ × b = 0 se b �= 0
Il segno 1
0 rappresenta invece un atto impossibile, se applicato ad uno step
non nullo; non ha dunque senso lo zero-sottomultiplo di uno step non nullo.
389