Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

di due dfferenti steps. L’idea della continuità di una progressione di momenti
nel tempo implica anche la continuità della progressione in grandezza da un
qualunque step non nullo ad un altro differente step non nullo, pensando gli
steps come intervalli (o relazioni ordinali) tra due momenti.
Questa continuità costringe ad ammettere l’esistenza di una grandezza determinata
b che sia medio proporzionale tra due grandezze disuguali assegnate a
e b ′
; quindi si ammette anche l’esistenza di un rapporto determinato ã che è
la radice quadrata di un rapporto positivo dato ˜b. Siano ora A, B e D tre momenti qualsiasi dati, distinti e tali che
D − A
B − A = ˜ b, ˜ b > 1
quindi il momento B è intermedio tra A e D. Sia C un momento fissato tra B
e D nella progressione continua del tempo, e siano indicati i rapporti positivi
di larghezza tra gli steps temporali individuati da D, C e B con il momento
A:
C − A D − A
= ˜x ,
B − A C − A = ˜y = R˜x × ˜b Si può osservare che se il momento C è vicino al momento B il rapporto ˜x
si avvicina al rapporto di uguaglianza 1, mentre il rapporto ˜y si avvicina al
rapporto ˜b. Introducendo il simbolo L per indicare il limite a cui si avvicinano
il momento variabile C e rispettivamente i rapporti ˜x e ˜y, si può scrivere:
se LC = B allora L˜x = 1 e L˜y = ˜ b
Se, invece, C è vicino al momento D i due rapporti ˜x e ˜y si comportano
inversamente; ovvero si ha:
se LC = D allora L˜x = ˜ b e L˜y = 1
Fissato dunque il rapporto di larghezza ˜ b > 1, al variare di C da B a D, si
determinano due progressioni opposte di rapporti, denotate con ˜x e R˜x × ˜ b,
da ˜x = 1 e R˜x × ˜ b = ˜ b, per cui risulta R˜x × ˜ b > ˜x, a ˜x = b e R˜x × ˜ b = 1, per
cui si ha R˜x × ˜ b < ˜x.
Quindi deve esistere un qualche stato intermedio della progressione del momento
C, tra B e D, in corrispondenza del quale le due progressioni dei rapporti
˜x e ˜y si incontrano, ovvero sono uguali:
R˜x × ˜ b = ˜y = ˜x cioe
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D − A
C − A
= C − A
B − A