Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

Lobačevskij aveva quindi intuito che c’è un legame tra geometria euclidea
e geometria immaginaria (iperbolica) e che quest’ultima è il “limite” della
prima.
Lobačevskij non ottenne la notorietà che si aspettava, così pubblicò nel
Journal una traduzione francese di Geometria immaginaria nel 1837 e poi un
volume in tedesco, Ricerche geometriche sulla teoria delle parallele nel 1840,
allo scopo di far conoscere le sue teorie anche all’estero.
Con l’uscita del volume in tedesco di Lobačevskij la delusione di Bolyai, i cui
meriti non furono mai riconosciuti, toccò l’apice. A causa di questo malessere
egli non pubblicò più alcun lavoro.
Tale volume trovò un attento lettore anche in Gauss, il quale, in una lettera
a Schumacher del 1846, scriveva: “[...]Sono stato indotto di recente a rivedere
l’opuscolo di Lobačevskij. Contiene i fondamenti di quella geometria che dovrebbe,
e a rigore potrebbe, aver luogo se la geometria euclidea non fosse vera.
Un certo Schweikart la chiamò geometria astrale. Lobačevskij geometria immaginaria.
Lei sa che già da 54 anni ho le stesse convinzioni. Materialmente
non ho trovato nulla di nuovo nell’opera di Lobačevskij, ma lo sviluppo è fatto
per una via diversa da quella che ho seguito io[...]”.
Nel 1855, un anno prima di morire, Lobačevskij pubblicò in lingua russa e
francese la sua ultima opera, Pangeometria, che rappresentava una sintesi delle
sue vedute nel campo della geometria generica, di cui quella euclidea era
solo un caso particolare.
Nel 1867 fu pubblicata postuma un’opera di Riemann (1826-1866), scritta
nel 1854. In quest’opera, Riemann gettava le basi di una geometria totalmente
nuova, detta geometria riemanniana, in cui il problema del parallelismo non
si pone nemmeno, sostituendo il concetto di retta con quello metrico di curva
geodetica, ossia il percorso di minor distanza tra due punti. In quest’ottica, la
geometria euclidea è la geometria naturale del piano.
Riemann disse che bisogna distinguere tra illimitato e infinito (e infatti secondo
lui, lo spazio era illimitato, ma non infinito). Con questa distinzione
fondamentale si affacciava la possibilità, completamente sfuggita ai geometri
precedenti, ed esplorata poi da Klein (1849-1925) a partire dal 1871, di una
geometria non-euclidea in cui viene meno non solo il V postulato, ma anche il
II (che implica l’infinità della retta).
Klein diede il nome di geometria iperbolica e geometria ellittica rispetti-
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