Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

Possiamo ora passare allo spazio proiettivo P(V ) e considerare i sottoinsiemi:
H = {P ∈ P(V ) | P = σ 〈v〉 , v ∈ T} e Γ = {P ∈ P(V ) | P = σ 〈v〉 , v ∈ C\{0}}
ed arrivare alle definizioni analoghe a quelle per il piano ellittico:
fissiamo un numero reale R > 0, sia K = −1/R 2 .
Definiamo allora su la metrica δK : H × H → R, ponendo:
cosh( δK(P, Q)
) =
R
|g(v, w)|
||v|| ||w|| ,
dove P = σ 〈v〉 , Q = σ 〈w〉 e 0 ≤ δK(P, Q) ≤ Rπ
2 .
I numeri reali R e K sono detti, rispettivamente, raggio di curvatura e
curvatura della metrica δK. Chiameremo poi piano iperbolico di curvatura
K < 0 il sottoinsieme H del piano proiettivo P(V ) dotato della metrica δK.
Il sottoinsieme Γ di P(V ) è detto l’assoluto del piano iperbolico; i punti di H
sono detti punti interni all’assoluto mentre i punti che non stanno né in H né
in Γ sono detti punti esterni all’assoluto.
L’assoluto corrisponde al supporto della conica di P(V ) associata all’applicazione
bilineare g ed un punto P = σ 〈V 〉, che non sta in Σ, è interno o
esterno all’assoluto a seconda del segno di g(v, v). La matrice dell’assoluto
nella base canonica è: Per il piano ellittico l’assoluto Γ corrisponde alla conica
senza punti reali determinata da g. La sua matrice nella base canonica è:
⎛
⎜
⎝
Piano euclideo
1 0 0
0 −1 0
0 0 −1
⎞
⎟
⎠ oppure
⎛
⎜
⎝
1 0 0
0 ɛ 0
0 0 ɛ
⎞
⎟
⎠ con ɛ < 0
La matrice dell’assoluto nella base canonica è: Per il piano ellittico l’assoluto
Γ corrisponde alla conica senza punti reali determinata da g. La sua
matrice nella base canonica è:
⎛
⎜
⎝
1 0 0
0 0 0
0 0 0
⎞
⎟
⎠ oppure
552
⎛
⎜
⎝
1 0 0
0 ɛ 0
0 0 ɛ
⎞
⎟
⎠ con ɛ = 0