Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

un numero finito di intervalli con somma piccola a piacere.
Per la dimostrazione, che seguirà immediatamente, usiamo le seguenti proposizioni
ausiliarie, la prima delle quali enuncia una proprietà ben conosciuta delle
funzioni continue mentre le altre due ci sono note attraverso le considerazioni
fatte sopra.
Lemma I. Una funzione continua φ(x) della variabile continua x data in un
intervallo (c, d) e che abbia agli estremi valori φ(c) e φ(d) disuguali assume
almeno una volta ogni valore y intermedio fra gli estremi φ(c) e φ(d).
Lemma II. Un numero infinito di intervalli giacenti su una retta infinita, esterni
l’uno all’altro e in contatto al massimo agli estremi è sempre numerabile.
Lemma III. Se abbiamo un insieme infinito numerabile di grandezze
ω1, ω2, ..., ων, ...,
in ogni intervallo preassegnato è possibile trovare una grandezza η che non
compare fra di esse.
Dimostrazione del teorema VI. Supponiamo per semplicità che l’intervallo
(a, b) nel quale giace P sia tale che a = 0, b = 1; il caso generico è riconducibile
a questo per mezzo di facili trasformazioni. Dunque P giace nell’intervallo
(0, 1), e lo stesso vale, chiaramente, per P ′ e per l’insieme formato dall’unione
di P e P’, che chiameremo Q. Abbiamo
Q ≡ M(P, P ′ ).
Indichiamo inoltre con R l’insieme residuo contenuto in (0, 1) quando a quest’ultimo
si sottrae Q; sarà cioè
(0, 1) ≡ Q + R. (1)
L’ipotesi della numerabilità dell’insieme P’ ha le seguenti conseguenze immediate:
Siano
1. Per il teor. II, anche P è numerabile, e quindi pure Q lo è.
2. P (e perciò P’) non è ovunque denso in nessun intervallo; se infatti P
fosse ovunque denso nell’intervallo (i, k), tutti i punti di quest’ultimo
apparterrebbero a P’, che perciò, per il lemma III, non potrebbe essere
numerabile. Perciò Q stesso non è ovunque denso in nessun intervallo.
u1, u2, ..., uη, ... (2)
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